Математическая модель равновесия рыночной экономики.

Рассмотрим одну из моделей равновесия—модель общего экономического равновесия Джона Кейнса.

Кейнс выделяет таких экономических агентов: нанимателей и нанимаемых, потребителей (сберегателей) и производителей (инвесторов), предлагающих и спрашивающих деньги, не персонифицируя их. Агенты действуют на трех рынках соответственно: рынке труда, рынке продуктов, рынке денег. На этих рынках распределяются и обмениваются товары: труд, продукты, деньги.

Первый макропараметр системы - национальный доход , являющийся единственным (для простоты) продуктом, производимым в единицу времени. Этот продукт выпускает производственная система экономики, ее производственные возможности задает производственная функция — зависимость величины выпуска про­дукта от количества и качества ресурсов, состава основных фондов и числа занятых работников R (второй макропараметр). В теории равновесия предполагается, что производственные возможности хозяйства — запас и состав основных фондов — не изменяются. Следовательно, выпуск определяется числом занятых работников R, и производственную функцию можно выразить в виде

(3.1)

Рис. 2

Относительно F(R) обычно считается, что , и при (рис. 2). Функция F(R) обладает свойством «насыщения»: с ростом R выпуск растет все медленнее. Такой подход вполне оправдан, поскольку при излишне большом числе занятых на производстве для них попросту не найдется соответствующего фронта работ. Один или несколько старателей, обнаруживших золотую жилу, быстро и без помех достигнут своей максимальной производительности; при большом количестве рабочих они начинают мешать друг другу, и их индивидуальная производительность уменьшается; наконец, при очень большом числе старателей добыча золота вообще перестает расти, так как вновь прибывающие не могут подступиться к месту разработки.

Соотношение (3.1) дает связь между рынками труда (R) и продукта ().

3.2.1. Рынок труда.

Существенное допущение Кейнса заключается в том, что заработная плата s задана и постоянна. Задается она как разрешение конфликта между организациями нанимаемых и нанимателей, а постоянна потому, что равновесие неявно предполагается кратко­срочным, и заработная плата не успевает измениться. Более того, фактически предполагается, что предложение труда не сдерживает производство; и число занятых определяется спросом на труд нанимателей. А те определяют спрос из условия максимизации прибыли. Если р — цена продукта, то это условие записывается так:

Дополнительное соотношение для построения модели определяется с помощью одного из основных постулатов классической политэкономии:

4) заработная плата s работника равна стоимости продукта, ко­торая была бы потеряна при уменьшении занятости на одну единицу (заработная плата равна предельному продукту труда).

Заметим, что в постулате 4) не учитываются (считаются малыми) другие издержки, которые отпали бы в результате сокращения одного рабочего места (затраты на ресурсы, оборудование и т. д.). Таким образом, из постулата получаем

,

где — количество продукта, потерянное при уменьшении занятости на единицу, р — цена продукта (так что слева в данном равенстве записана величина потерянной стоимости). Если занятость изменилась на величину AR, то из последнего равенства, очевидно, имеем

,

где — стоимость, потерянная или полученная при изменении числа работников на . Считая и малыми в сравнении с и , перепишем последнее равенство в дифференциальной форме:

или, принимая во внимание (3.1),

(3.2)

.

Поскольку задана (а с нею известна функция ), то при известных макропараметрах и из (3.2) можно найти уровень занятости , а из (3.1) и величину продукта . Отметим: этот уровень отвечает числу работников, согласных трудиться за данную зарплату при данных ценах и других характеристиках системы, а не вообще возможному числу наемных рабочих. Предполагается, что для обеспечения равновесного уровня занятости всегда найдется достаточное количество желающих работать на существующих условиях, т. е.:

5). предложение труда не сдерживает производства, число занятых определяется спросом на труд со стороны предпринимателей.

Два уравнения (3.1), (3.2) содержат четыре величины. Относительно одной из них предполагается, что:

6).заработная плата в модели считается заданной.

Она определяется в результате компромисса между работодателями и нанимаемыми (реальная же зарплата зависит также и от уровня цен).

Таким образом, существенное допущение Кейнса заключается в том, что заработная плата задана и постоянна. Задается она как разрешение конфликта между организациями нанимаемых и нанимателей, а постоянна потому, что равновесие неявно предполагается краткосрочным, и заработная плата не успевает измениться. Более того, фактически предполагается, что предложение труда не сдерживает производство; и число занятых определяется спросом на труд нанимателей. А те определяют спрос из условия максимизации прибыли.

3.2.2. Рынок продукта.

Для построения замкнутой модели необходимо дальнейшее рассмотрение рынка продукта. Произведенный продукт частично тратится на потребление, а частично сберегается:

где — потребляемая часть (в экономику не возвращается), a — сберегаемая часть, возвращающаяся в экономическую систему (или фондообразующий продукт).

Соотношение между величинами и определяется из следующих соображений. Относительно величины считается, что:

7). потребляемая часть выпуска зависит от величины самого выпуска,

Функция обладает свойством «насыщения» так же, как и функция : чем больше выпуск, тем меньшая доля дополнительного выпуска тратится на потребление (рис. 1) и тем большая доля сберегается. Величина называется склонностью к потреблению и лежит в пределах , иначе при малых выпусках потреблялось бы больше продукта, чем производилось бы.

Фондообразующий продукт

(3.3)

вкладывается инвесторами в экономику с целью получить в будущем с этих инвестиций доход. При этом . Величина показывает, какую долю дополнительного дохода потребители сберегут и называется склонностью к сбережению (накоплению). Очевидно, что функция (3.3), в которой функцию предполагают выпуклой вверх, задает предложение сбережений на рынке продукта в зависимости от величины выпуска. (Иначе говоря, это предложение фондообразующего продукта на рынке.)

Рис. 3

Вопрос о том, какими соображениями можно объяснить процесс инвестиций, наверное, самый сложный в экономической теории. Кейнс заимствовал традиционный подход: считал, что инвестиции определяются нормой процента . Как цена выражает соотношение между разными потребительскими благами, так норма процента выражает соотношение между сегодняшним и будущим потреблением. В модели считается, что инвестиции эквивалентны отложенному (отнесенному на будущее) потреблению и поэтому определяются еще одним финансовым макропоказателем системы нормой банковского процента . Действительно, сделав инвестиции в размере и получив через год доход , инвестор ничего не теряет (в данном примере и не выигрывает) по сравнению с вложением этих средств в банк под процент . В обоих случаях сегодняшнее потребление откладывается ради возможности большего потребления в следующем году. Спрос на инвестиции задается функцией такой, что при и при : при большой норме процента инвестиции отсутствуют (рис. 3).

Инвесторы желают пустить в дело часть предлагаемых сбережений (фондообразующего продукта), рассчитывая в будущем получать с них доход. Важно отметить, что в теории равновесия не считают, что инвестиции изменяют про­изводственные возможности хозяйства. Теория Кейнса изучает краткосрочное равновесие экономики, в ней инвестиции — просто один из факторов, смещающих уровень про­изводственной активности. Чтобы пояснить это, сделаем небольшое отступление.

Мультипликатор Кейнса.

Слово «мультипликатор» используют для обозначения численного коэффициента, показывающего, во сколько раз возрастет одна величина при изменении другой. Мультипликатором дохода, или инвестиционным мультипликатором, Кейнс называет множитель, показывающий, во сколько раз вырастет национальный доход в ответ на увеличение инвестиций . Мультипликатор равен отношению изменения дохода к изменению инвестиций. Этот прирост дохода на величину в несколько раз большую получил название эффекта мультипликатора. Он обусловлен тем, что расходы одних людей обеспечивают доходы другим людям. Продавец инвестиционного товара, получив доход от его продажи, потратит часть этого дохода и, в свою очередь, обеспечит доход другим продавцам, которые тоже станут тратить деньги на потребление. Эта цепочка будет тем длиннее, чем выше предельная склонность людей к потреблению и ниже предельная склонность к сбережению. Джон Кейнс установил, что величина мультипликатора обратно пропорциональна предельной склонности к сбережению.

Пусть инвестиции А заданы, неважно из каких соображений, и пусть рынок продукта находится в равновесии — предложение фондообразующего продукта сбалансировано со спросом на инвестиции:

или, учитывая (3.3),

(3.4)

При условии выпуклости вверх функции это уравнение, очевидно, имеет решение, зависящее от : Следовательно, инвестиции ограничивают уровень производственной активности (конечно, при условии, что предложение труда ее не сдер­живает) в силу действия описанных выше экономических механизмов регулирования равновесного рынка. Предположим теперь, что инвестиции, увеличились на величину . Из последнего уравнения следует, что это вызовет дополнительный выпуск:

(3.5)

Это знаменитое соотношение мультипликатора Кейнса. Смысл мультипликатора можно прояснить, если выражение (3.5) представить в виде ряда

Таким образом, первоначальные инвестиции порождают прирост национального дохода, поскольку лишь частично пойдут на сбережение, часть будет потрачена (потреблена), вследствие чего произойдет новый прирост национального дохода, но вновь меньший из-за откладываемых сбережений и так далее.

3.2.3. Рынок финансов

Сбережения делают одни агенты, а инвестируют другие. Чтобы действительно сделать инвестиции, надо на рынке продукта купить фондообразующий продукт, а для этого нужны деньги. То же верно и в отношении потребителя. Кейнс предполагает, что деньги выпускает государственный банк и считает предложение денег заданным управляющим параметром. Относительно спроса на деньги Кейнс делает ещё одно существенное предположение:

8) спрос на деньги представляет собой сумму операционного и спекулятивного спроса. Операционный спрос на деньги покрывает потребности совершать сделки на рынке. Если цена продукта , то платежи в единицу времени (поток) можно оценить как . А если характерное время обращения денег (запаздывание платежей по отношению к поставкам) оценивается величиной τ, то количество денег, которое надо иметь на руках, чтобы производить покупки товары ,можно оценить как . Это и есть операционный спрос.

Деньги как платежные средства имеют разную ликвидность — способность обмениваться на продукт. Самая высокая ликвидность у банкнот, у облигаций ликвидность меньше, но они приносят доход в виде процента. Облигациями неудобно оплачивать текущие расходы, но инвестиции ими оплачивают. Владельцы денег вольны сами выбирать ликвидность денег: могут держать дома банкноты, а могут на них купить в банке облигации, пустив банкноты в оборот. Если норма процента высока, то большую часть денег их владельцы предпочитают хранить в банке, рассчитывая на хороший доход и жертвуя более высокой степенью ликвидности банкнот в сравнении с банковскими обязательствами. При низкой процентной ставке спекулятивный спрос увеличивается: владельцы желают иметь на руках все больше банкнот, аккумулируя в них свои накоп­ления, выжидая, пока норма процента повысится. Это спекулятивный спрос на деньги , он зависит от нормы процента, так что при и резко возраста при .Последнее условие называется ловушкой ликвидности и означает, что если норма процента меньше , владельцы денег теряют интерес к ценным бумагам.

Итак, общий спрос на деньги равен , и условие равновесия рынка денег (баланс денег в экономической системе)

(3.6)

дает еще одну связь спроса на продукт с его ценой и нормой процента при заданной величине предложения .

Система уравнений (3.1), (3.2), (3.4), (3.6) описывает состояние равновесия рыночной экономики, определяя математическую модель рыночного равновесия.

(3.7)

В модели (3.7) задаются параметры системы (ставка заработной платы), (предложение денег) и технический параметр . Функции — известные функции своих аргументов с описанными выше свойствами. По этим входным данным из модели определяются четыре неизвестных величины: (выпуск продукта), (занятость), (цена продукта) и (норма прибыли).

Исключая из (3.7) величины уравнения (3.7) легко свести к одному уравнению относительно

Подставляя полученные выражения для p,r и Y, получим

(3.8)

.

Определив из (3.8) значение , из (3.7) нетрудно определить все остальные искомые величины.

Докажем существование решения уравнения (3.8) относительно неизвестной на основе анализа графиков функций, входящих в его левую и правую части.

Рис. 4 Рис.5

 

Функция — монотонно растущая функция , равная нулю при (рис. 4). Ее монотонность следует из условия

, .

Данная функция является аргументом для монотонной функции , и из свойств функции (рис. 3) легко установить качественный вид зависимости от (рис.5), причем при ( некоторое значение величины , ). В свою очередь служит аргументом монотонной функции , свойства которой таковы (рис.3), что как функция она имеет вид, изображенный на рис.6 (для значений функция не определена).

 

Рис.6

 

Рис.7

 

Рассмотрим теперь левую часть уравнения (3.8). Функция равна нулю при (считается, что ); (см. рис.2). Вычислим её первую производную по :

Её отрицательность следует из свойств функций , . Таким образом, монотонно убывает (рис. 7).

Совмещая графики левой (кривая 2) и правой (кривая 1) частей уравнения (3.8) на одном рис. 8, убеждаемся в том, что при достаточно большом значении управляющего параметра кривые пересекаются в некоторой точке , . Точка пересечения единственна в силу монотонности графиков. Следовательно, модель (3.7) действительно имеет единственное решение, описывающее равновесное состояние экономики.

 

Рис. 8

Модель равновесия использовалась, например, для разработки плана стабилизации французской экономики в 1963 г. И хотя некоторая стабилизация была достигнута, Л. Столерю[1] очень осторожно высказывается относительно того, насколько велика была роль модели, да и самого плана в стабилизации экономического развития.

 

 

4. Заключение

Можно выделить по крайней мере четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем экономики.

1. Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов. Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

3. Углубление количественного анализа экономических проблем. Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.

4. Решение принципиально новых экономических задач. Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать трудноформализуемые задачи.

 

 

5. Список использованной литературы

1) Интрилигатор М. «Математические методы оптимизации и экономическая теория», И: «Прогресс» Москва 1975

2) Самарский А. А., Михайлов А. П. «Математическое моделирование» Москва Физматлит 2005

3) Петров А. А. «Математическое моделирование экономического развития» И.: «Знание» Москва 1984

 

[1] См.: Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М.у Статистика, 1974.