Пример2.2
Сравниваются между собой семь инвестиционных проектов инжиниринговых компаний со следующими характеристиками (табл. 2).
Требуется установить, какие проекты над какими будут доминировать.
Решение. Критерии оптимальности, установленные для данной задачи, характеризуются следующими требованиями: ЧТС и индекс доходности необходимо максимизировать, а срок окупаемости – минимизировать. Попарно сравнивая варианты друг с другом, нетрудно удостовериться, что первый проект доминирует над вторым и шестым, характеризуясь большими значениями ЧТС и индекса доходности и меньшим сроком окупаемости.
Таблица 2.1
Показатели эффективности инвестиционных проектов
| Проект | Чистая текущая стоимость, млн руб. | Индекс доходности | Срок окупаемости, лет |
| 1,5 | |||
| 1,2 | |||
| 1,3 | |||
| 1,4 | |||
| 1,7 | |||
| 1,5 | 1,08 | ||
| 1,4 |
Второй вариант по этой же причине доминирует над шестым, третий – над вторым и шестым, четвёртый – над шестым, пятый – над вторым (при равных сроках окупаемости большие значения ЧТС и индекса доходности) и над шестым, шестой – ни над одним вариантом, седьмой – над вторым, над четвёртым (при равных индексах доходности седьмой вариант имеет большую ЧТС и меньший срок окупаемости) и над шестым.
Использование принципов доминирования и Парето для выбора оптимальных решений можно проиллюстрировать графически. Для начала рассмотрим случай двухкритериальной оценки сравнительной эффективности. Введем координатную плоскость, по осям которой отложим значения критериев отбора К 1 и К 2. Сравниваемые варианты отмечаются точками в данной системе координат. Возможны три случая:
а) эффективность принимаемого решения тем выше, чем больше значение каждого из критериев;
б) эффективность принимаемого решения тем выше, чем меньше значение каждого из критериев;
в) эффективность принимаемого решения тем выше, чем больше значение одного из критериев и чем меньше значение другого.
По взаимному расположению точек, соответствующих сравниваемым вариантам (см. соответствующие примеры), можно определить доминирующие альтернативы и очертить область эффективных решений.
Пример 2.3.
Имеются пять альтернативных инвестиционных проектов, оцениваемых с позиций интегрального эффекта (ЧТС) и индекса доходности. Данные по проектам представлены в табл. 2.2. Сформировать область эффективных решений.
Таблица 2.2
Исходные данные по проектам
| Проект | Интегральный эффект, тыс. руб. | Индекс доходности |
| Проект 1 | 1,1 | |
| Проект 2 | 1,2 | |
| Проект 3 | 1,4 | |
| Проект 4 | 1,7 | |
| Проект 5 |
Решение. Отметим сравниваемые варианты точками на координатной плоскости «ЧТС – Индекс доходности» (см. рис. 7.). В рассматриваемой задаче эффективность проекта тем выше, чем выше значения как ЧДД, так и индекса доходности.
По критерию ЧДД максимальное значение обеспечивает вариант 2, а по критерию индекса доходности – вариант 5. Через точки, соответствующие этим вариантам, проводятся прямые, параллельные координатным осям. Пересечение прямых образует прямоугольник, который ограничивает область анализа (варианты 2, 3, 4 и 5). Внутри области анализа необходимо проверить наличие вариантов, в отношении которых выполняется принцип доминирования.
Проведём через точку, соответствующую варианту 3, прямые, параллельные координатным осям. Левый нижний квадрант относительно этих прямых (то есть область слева вниз от точки 3) – это область, в которой и ЧТС, и индекс доходности меньше, чем соответствующие значения для варианта 3. В данной области нет ни одного варианта. Проделав то же самое для проекта 4, видим, что в левом нижнем квадранте оказалась точка, изображающая проект 3. Это означает, что четвертый вариант доминирует над третьим, так как.
ЧТС3 < ЧТС4,
ИД3 < ИД4.
Следовательно, в область эффективных решений попадают три проекта – второй, четвертый и пятый.
Пример 2.4..
Сравниваются пять инвестиционных проектов с использованием критериев чистой текущей стоимости и срока окупаемости. Данные по вариантам приведены в таблице (табл.2.3.).
Таблица 2.3
Исходные данные по проектам
| Проект | ЧТС, тыс. руб. | Срок окупаемости инвестиций, лет |
| Проект 1 | ||
| Проект 2 | 1,5 | |
| Проект 3 | 2,5 | |
| Проект 4 | ||
| Проект 5 |
Сформировать область эффективных решений.
Решение. В данном случае эффективность варианта тем выше, чем больше значение одного из критериев (ЧТС) и чем меньше значение другого (срок окупаемости t). Отметим сравниваемые варианты точками в системе координат «ЧТС – срок окупаемости» (рис. 8.).
Максимальное значение по критерию ЧДД обеспечивает проект 4, минимальное значение срока окупаемости – вариант 1. Через точки, соответствующие данным вариантам, проводим прямые, параллельные осям координат. Прямоугольник, образованный пересечением данных прямых, включает точки, соответствующие первому, второму, третьему и четвертому проектам.
Эти варианты образуют область анализа. Пятый вариант признается неэффективным, по причине того, что проект 4 над ним доминирует:
ЧТС4 > ЧТС5,
t4 < t5.
Проверим выполнение принципа доминирования для вариантов, попавших в область анализа. Проведем прямые, параллельные осям координат, через точку, соответствующую проекту 2. Правый нижний квадрант координатной плоскости относительно этих прямых – это область, в которой значения обоих критериев отбора хуже (ЧТС меньше, а срок окупаемости больше), чем соответствующие значения для варианта 2. В указанном квадранте находится точка, соответствующая проекту 3. Следовательно, чего второй проект доминирует над третьим, то есть
ЧТС2 > ЧТС3,
t2 < t3.
В области эффективных решений остаются первый, второй и четвертый проекты.
Пример 2.5.
Данные по затратам и срокам окупаемости приведены в табл. 2.4. Сформировать область эффективных решений.
Таблица 2.4
Исходные данные по вариантам
| Объем необходимых капитальных вложений, млн руб | Срок окупаемости инвестиций, лет |
| Варинт1 4 | |
| Вариант 2 5 | 2,5 |
| Вариант 3 2 | |
| Вариант 4 3 | |
| Вариант 5 1,5 | 4,5 |
Решение. В данном случае эффективность вариантов тем выше, чем меньше каждый из критериев отбора. Отметим сравниваемые варианты точками в системе координат «Объем капиталовложений – срок окупаемости» (рис. 9.).
Минимальным значением капиталовложений характеризуется пятый из рассматриваемых районов, а минимальным сроком окупаемости – первый. Через точки, изображающие данные варианты, проводим прямые, параллельные координатным осям так, как показано на рис. 9. Прямоугольник, образуемый этими прямыми, ограничивает область анализа.
Проверим выполнение принципа доминирования внутри области анализа. Проведя прямые, параллельные координатным осям, через точку, соответствующую варианту 3. Правый верхний квадрант относительно этих прямых – это область, ёв которой значения обоих критериев хуже, чем соответствующие значения для третьего варианта (и срок окупаемости, и объем капитальных затрат выше). В указанной области находится вариант 4. В силу этого
К 3 < К 4,
t3 < t4,
то есть вариант 3 доминирует над вариантом 4.
Таким образом, в область эффективных решений включаются варианты первый, третий и пятый.
Если число критериев оказывается больше двух, то необходимо построить область эффективных решений отдельно по каждой паре показателей, а затем объединить эти области по правилам объединения множеств.