повышенный уровень, время – 2 мин)

Тема: Кодирование чисел. Системы счисления.

Что нужно знать:

· принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления

· чтобы перевести число, скажем, 12345_N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:

4 3 2 1 0 ← разряды

1 2 3 4 5_N = 1·N⁴ + 2·N³ + 3·N² + 4·N¹ + 5·N⁰

· последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на

· две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

· число 10^N записывается как единица и N нулей:

· число 10^N-1 записывается как N девяток:

· число 10^N-10^M = 10^M · (10^N-M – 1) записывается как N-M девяток, за которыми стоят M нулей:

· число 2^N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

· число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:

· число 2 ^N– 2 ^K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей:

· поскольку , получаем , откуда следует, что

· число 3^N записывается в троичной системе как единица и N нулей:

· число 3^N-1 записывается в троичной системе как N двоек:

· число 3^N – 3^M = 3^M · (3^N-M – 1) записывается в троичной системе как N-M двоек, за которыми стоят M нулей:

· можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a:

- число a^N в системе счисления с основанием a записывается как единица и N нулей:

- число a^N-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы счисления, то есть, цифр (a-1):

- число a^N – a^M = a^M · (a^N-M – 1) записывается в системе счисления с основанием a как N-M старших цифр этой системы счисления, за которыми стоят M нулей:

Пример задания:

Р-23. (М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение:

1) Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что 19=27-8=3³-(2∙3¹+2∙3⁰):

9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19= (3²)⁹ – 3⁹ + (3²)¹⁹ – (3³ – (2∙3¹ + 2∙3⁰)) = 3¹⁸ – 3⁹ + 3³⁸ – 3³ + 2∙3¹ + 2∙3⁰

2) Перепишем выражение, располагая степени тройки в порядке убывания:
3¹⁸ – 3⁹ + 3³⁸ – 3³ + 2∙3¹ + 2∙3⁰ = 3³⁸ + 3¹⁸ – 3⁹ – 3³ + 2∙3¹ + 2∙3⁰

3) Сначала рассмотрим часть выражения, в которой имеется два расположенных подряд «минуса»: 3¹⁸ - 3⁹ ‑ 3³:

a. найдём разность двух крайних чисел: 3¹⁸ – 3³, в её троичной записи 18 – 3=15 «двоек» и 3 «нуля»;

b. вычтем из этого числа значение 3⁹: одна из «двоек» (на 10-й справа позиции) уменьшится на 1, остальные цифры не изменятся;

c. итак, троичная запись разности 3¹⁸ – 3⁹ – 3³ содержит 15 – 1=14 «двоек», одну «единицу» и 3 «нуля»

4) Прибавим к полученному значению сумму: 2∙3¹ + 2∙3⁰ = 22₃. В троичной записи результата два крайних справа нуля заменяются на «двойки», остаётся один ноль. Общее количество «двоек»: 14+2=16.

5) Прибавление значения 3³⁸ не изменит количества «двоек» в троичном числе: слева от имеющихся цифр появятся ещё 38 – 18=20 «нулей» и одна «единица» – на 39-й справа позиции.

6) Итак, результат, записанный в троичной системе, содержит 39 цифр. Его состав: 16 «двоек», 2 «единицы» (их позиции: 39-я и 10-я справа) и 21 «нуль» (39-16-2=21).

7) Ответ: 16.

Ещё пример задания:

Р-22. Значение арифметического выражения: 9⁸ + 3⁵ – 9

записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение:

1) приведём все слагаемые к виду 3^N и расставим в порядке убывания степеней:

9⁸ + 3⁵ – 9 = 3¹⁶ + 3⁵ – 3²

2) первое слагаемое, 3¹⁶, даёт в троичной записи одну единицу – она нас не интересует

3) пара 3⁵ – 3² даёт 5 – 2 = 3 двойки

4) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-21. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа
4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250

Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):

1) Общая идея: количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц

2) приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 2⁸ – 2² – 2¹:

4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250 = (2²)⁵¹² + (2³)⁵¹² – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹ =

= 2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

3) старшая степень двойки – 2¹⁵³⁶, двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 1536 нулей, то есть, состоит из 1537 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц

4) вспомним, число 2 ^N– 2 ^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

5) для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2 ^N– 2 ^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию

6) в нашем случае вы выражении

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу

7) используем теперь равенство , так что – 2¹²⁸ = – 2¹²⁹ + 2¹²⁸; получаем

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁹ + 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

здесь две пары 2 ^N– 2 ^K, а остальные слагаемые дают по одной единице

8) общее число единиц равно 1 + (1024 – 129) + (128 – 8) + 1 + 1 = 1018

9) таким образом, количество значащих нулей равно 1537 – 1018 = 519

10) ответ: 519.

Ещё пример задания:

Р-20. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122

Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):

1) приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 2⁷ – 2² – 2¹:

4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹ =

= 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

2) вспомним, число 2 ^N– 2 ^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

3) для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2 ^N– 2 ^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию

4) в нашем случае вы выражении

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу

5) используем теперь равенство , так что – 2¹⁵⁰ = – 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰; получаем

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

здесь две пары 2 ^N– 2 ^K, а остальные слагаемые дают по одной единице

6) общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210

7) ответ: 1210.

Решение (С.О. Куров, Москва):

8) приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 2⁷ – 2² – 2¹:

4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹ =

= 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

9) ищем в разности крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2¹²¹⁵ – 2⁷, при этом 2¹⁵⁰ на время «теряем»

10) определяем количество единиц в разности 2¹²¹⁵ – 2⁷, получаем 1215 – 7 = 1208 единиц

11) так как «внутри» этой разности есть еще 2¹⁵⁰, то просто вычитаем одну единицу: 1208 – 1 = 1207; итого в разности 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ ровно 1207 единиц

12) осталось прибавить по одной единицы от чисел 2⁴⁰³⁰, 2², 2¹

13) Ответ: 1210

Ещё пример задания:

Р-19. Решите уравнение .

Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1) переведём все числа в десятичную систему счисления:

2) собирая всё в одно уравнение получаем

3) это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6

4) переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙3¹ = 20₃.

5) ответ: 20.

Ещё пример задания:

Р-18. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 8

Решение:

1) приведём все числа к степеням двойки:

4²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 8 = (2²)²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ – 2³ = 2⁴⁰²⁸ + 2²⁰¹⁵ – 2³

2) вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
а число 2 ^N– 2 ^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

3) согласно п. 2, число 2²⁰¹⁵ – 2³ запишется как 2012 единиц и 3 нуля

4) прибавление 2⁴⁰²⁸ даст ещё одну единицу, всего получается 2012 + 1 = 2013 единиц

5) ответ: 2013.

Ещё пример задания:

Р-17. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6

Решение:

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как 2²+2¹

4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 = (2²)²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ - (2³)⁶⁰⁰ + 2² + 2¹ = 2⁴⁰³² + 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ + 2² + 2¹

2) вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
а число 2 ^N– 2 ^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

3) согласно п. 2, число 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ запишется как 218 единиц и 1800 нулей

4) прибавление 2⁴⁰³² даст ещё одну единицу, а прибавление 2² + 2¹ – ещё две, всего получается 218 + 3 = 221 единица

5) ответ: 221.

Ещё пример задания:

Р-16. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80

Решение:

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3) вспомним, что число 2^N-1 в двоичной системе записывается как N единиц: ,
а число 2 ^N– 2 ^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

4) согласно п. 2, число 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ запишется как 382 единицы и 2018 нулей

5) добавляем старшее слагаемое 2⁴⁰³², получаем число 2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸, в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:

6) выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 2²⁰¹⁸):

,

где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно

7) согласно п. 2, число 2²⁰¹⁸ – 2⁶ запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:

где число L содержит 2011 единиц

8) теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 2⁶ – 2⁴, согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы

9) таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395

10) ответ: 2395.

Решение (способ 2, Е.А. Смирнов, Нижегородская область):

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3) представим – 2²⁰¹⁸ = – 2²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁸ и – 2⁶ = – 2⁷ + 2⁶

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁹ + 2²⁰¹⁸ – 2⁷ + 2⁶– 2⁴

4) слагаемое 2⁴⁰³² в двоичной записи содержит 1 единицу

5) слагаемое 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁹ содержит 381 единицу (число 2 ^N– 2 ^K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: )

6) слагаемое 2²⁰¹⁸ – 2⁷ содержит 2011 единиц, слагаемое 2⁶– 2⁴ содержит 2 единицы

7) позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395

ответ: 2395

Решение (способ 3, А.И. Козлов, г. Северобайкальск):

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2⁶+2⁴

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80 = (2²)²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + (2³)⁸⁰⁰ – 2² – 2¹ = 2⁴⁰³² – 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ – 2⁴

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки

2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ – 2²⁰¹⁸ – 2⁶ – 2⁴

3) выражение 2²⁴⁰⁰–2⁴ дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (2⁶) и, соответственно на 2019 месте справа (2²⁰¹⁸). Следовательно, остается 2394 единички.

4) С учетом того, что 2⁴⁰³² дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц

5) Ответ: 2395

Ещё пример задания:

Р-15. Решите уравнение .
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1) удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему

2) получаем

3) уравнение приобретает вид , откуда получаем

4) переводим 15 в шестеричную систему счисления:

5) ответ: 23.

Ещё пример задания:

Р-14. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение:

6) если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело

7) поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15

8) очевидно, что это число 15.

Ещё пример задания:

Р-13. Запись числа 67₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

9) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем

10) следовательно, основание N – это делитель числа 66

11) с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть

12) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:

13) видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие

14) таким образом, верный ответ – 3.

15) можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 67₁₀ = 2111₃

Еще пример задания:

Р-12. Запись числа 381₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

1) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем

2) следовательно, основание N – это делитель числа

3) с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

4) неравенство дает (так как )

5) неравенство дает (так как )

6) таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

· 9, при получаем запись числа

· 14, при получаем запись числа

· 18, при получаем запись числа

7) наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)

8) таким образом, верный ответ – 18.

Еще пример задания:

Р-11. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.

· в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 11₄ = 5

· потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

3) таким образом, верный ответ – 5, 21.

Возможные ловушки и проблемы: · выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие · остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему · найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1) переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 121₄, все интересующие нас числа не больше этого значения

2) из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
это 11₄ = 5 и 111₄ = 21

3) таким образом, верный ответ – 5, 21.

 

 

Возможные ловушки и проблемы: · есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25) · можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести

Еще пример задания:

Р-10. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

· здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

Решение:

1) итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

(*)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

3) из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

4) в этой задаче есть только три таких делителя: и

5) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21.

Возможные ловушки и проблемы: · нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель не подходит (должно быть ) · числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию

Еще пример задания:

Р-9. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

· неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1_N = k·N² + N¹ + N⁰ = k·N² + N + 1

· можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k₄ k₃ k₂ 1 1_N = k₄·N⁴ + k₃·N³ + k₂·N² + N¹ + N⁰

= k·N² + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

1) итак, нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

3) из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число

4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Еще пример задания:

Р-8. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

1) запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 17 = 32₅ .

2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

3) между 20₅ и 32₅ есть еще числа

21₅, 22₅, 23₅, 24₅, 30₅, 31₅.

4) в них 5 цифр 2 (в числе 22₅ – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

5) таким образом, верный ответ – 7.

Возможные ловушки и проблемы: · нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305 · помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек · можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):

1) переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 20₅, 11 = 21₅, 12 = 22₅, 13 = 23₅, 14 = 24₅, 15 = 30₅, 16 = 31₅, 17 = 32₅ .

2) считаем цифры 2 – получается 7 штук

3) таким образом, верный ответ – 7.

Еще пример задания:

Р-7. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

1) обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид

2) вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

3) поскольку запись трехзначная, , поэтому

4) с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

5) объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству

6) учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

7) минимальное из этих значений – 4

8) таким образом, верный ответ – 4.

Решение (без подбора):

1) выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

2) найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

3) проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

4) таким образом, верный ответ – 4.

Еще пример задания:

Р-6. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1):

1) нас интересуют числа от 1 до 30

2) сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

3) поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

4) рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:

все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

5) таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

6) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

7) общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

8) используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

9) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре):

1) нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел

2) поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)

3) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

4) выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 30₅ = 15, 31₅ = 16, 32₅ = 17, 33₅ = 18 и 34₅ = 19

5) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19.

Еще пример задания:

Р-05. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

1) Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то

а) , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

б) это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

5) получаем

а) при :

б) при : решения – не целые числа

в) при : и , второе решение не подходит

6) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1) запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем

2) таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

3) среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 68.

4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков (, …), т.е. все они больше

5) поэтому , следовательно,

6) по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием £ 3 цифры 3 нет)

7) итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

8) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Возможные ловушки и проблемы: · на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3) · можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x), и пропустить максимальное основание · нужно помнить, что а) максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления б) 100 в системе с основанием p равно p2

Еще пример задания:

Р-04. Укажите через запятую в порядке