Квадратурные формулы Гаусса




Численные методы вычисления интегралов. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса

 

Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи

 

Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций . Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда - конечный интервал.

В таком случае, как известно, функция является ограниченной, т.е. . В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от заменяется некоторой линейной комбинацией значений в точках :

 

(1)

 

Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты - квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы - узлами квадратурной формулы.

Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.

 


Методы Ньютона-Котеса

 

Пусть различные точки отрезка , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию функции . Тогда имеем:

(2)

 

где - остаточный член. Предположим, что

(3)

 

причём подобраны так, чтобы все интегралы

(4)

 

можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу

(5)

 

Формула трапеций

 

Частным случаем методов Ньютона-Котеса является квадратурная формула трапеции. Подынтегральную функцию будем интерполировать по формуле Лагранжа, в том случае, когда на каждом отрезке деления принимается линейная интерполяция, а результаты суммируются (рис 1):


 

 
 

 

 


Рис. 1.

 

а) графический вывод:

Определённый интеграл , как известно, задаёт площадь криволинейной трапеции , поэтому, вписав ломаную в дугу кривой , мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:

(6)

 

Между тем, очевидно, что

 

(7)

 

Так как, в методах Ньютона-Котеса, , учитывая (6) получаем:


(8)

 

или, соединяя подобные члены, имеем:

 

(9)

 

Формула (9) – называется формулой трапеций.

б) Аналитический вывод:

Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка , построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения . Ясно, что в таком случае интерполирующая функция имеет вид:

 

(10)

 

т.к. в методе Ньютона-Котеса , учитывая (3) и (4), из (10) получаем:

 

(11)

Аналогично, , т.е.


(12)

 

Таким образом, получаем формулу:

 

(13)

 

тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:

 

(14)

 

где . Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).

 

Формула Симпсона

Рассмотрим метод Ньютона-Котеса (т.е. ), в случае интерполяции подинтегральной функции квадратичными функциями на каждом интервале деления. В данном случае мы имеем дело с параболическим интерполированием, поэтому на каждом интервале , необходимо знание значения функции в трёх точках (т.к. имеет 3 неизвестных параметра – коэффициенты ). В качестве третьей точки на каждом отрезке - выбирается середина этого отрезка, т.е. точка .

Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции , на отрезке , при чём считаем, что нам известны значения . Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:

 

(15)

 

Интегрируя (15) на отрезке будем иметь формулу:

 

(16)

 

используя свойство аддитивности интеграла, получаем:

 

(17)

 

где является четным числом ( - число делений отрезка ,т.е. число равных отрезков разбиения).

Формула (17)-называется формулой Симпсона.

Приняв обозначения , получаем привычный вид квадратурных формул:

а) Формула трапеций:


(18)

 

б) Формула парабол (Симпсона) (при )

 

(19)

Метод Ромберга

 

Пусть промежуток интегрирования разбит на равных частей и для этого разбиения по формуле трапеции получено значение . Значение - совпадает со значением вычисляемого интеграла, если интегрируемая функция линейна, т.е. является многочленом первой степени. По формуле:

 

(20)

 

называемой формулой Ромберга, построим - схему:

 

(21)

 


Оказывается, что для интегрируемых по Риману функций, все столбцы и строки - схемы сходятся к исходному значению интеграла.

Пример: Выписать явные формулы для фрагмента - схемы:

 

Решение:

 

Пусть Тогда

 


Квадратурные формулы Гаусса

 

Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах, получаемых методом Ромберга, используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря, смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать, что при гауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени .

 

(22)

 

Для количества узлов и соответствующих значений и - составлены таблицы, которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).

Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.

Пример:

Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами ,по которой точно интегрируются многочлены до степень включительно.

Решение: Искомая формула имеет вид:

 

, (23)

 

где - остаток, который обращается в нуль, для

 


, при .

 

Тогда, подставляя в (23) имеем:

 

(24)

 

Отсюда, приравнивая коэффициенты при , справа и слева, получаем систему уравнений:

 

(25)

 

Ее решение имеет вид:

 

(26)

 

Следовательно, искомая квадратурная формула такова:

 

. (27)


Ясно, что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками, действуем следующим образом:

а) промежуток интегрирования делим на - равных промежутков и на каждом маленьком промежутке применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);

б) полученные результаты складываем.

В случае, когда , оказывается, что узловыми точками при делении отрезка на - частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.

Для вычисления кратных интегралов, их сводят обычно к повторным интегралам, а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек, что и в одномерном случае. Однако, надо иметь в виду, что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.

Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.

 


Оценка интегралов

При численном интегрировании наряду с приближёнными формулами представляет также интерес нахождение нижних и верхних границ интегралов. Рассмотрим два метода оценки интегралов:

а) оценка интеграла в случае, когда подинтегральная функция , удовлетворяет условию:

 

для (28)

 

б) общий случай.

Рассмотрим интеграл:

 

(29)

 

где , . Не умоляя общность, будем считать, что , , тогда (Рис. 1) ясно, что

 

 

К Е

 

N

 

М

 

0

 

Рис. 1


0

 

Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями aMNb и aKEb, т.е.

 

 

(30)

 

Очевидно, что

 

(31)

(32)

 

Таким образом, для оценки интеграла в случае , имеем:

 

(33)

 

если же , неравенство (33) заменяется на обратное.

 

б) Другой принцип грубой, но зато общей оценки значения интеграла, основан на «монотонности» интеграла. При этом способе подынтегральную функцию приближают снизу и сверху интегрируемыми в замкнутом виде функциями и , т.е.

 

, (34)


Тогда

 

(35)

 




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-06-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: