Глава 2. Элементы сферической геометрии

2.1. Основные положения сферической геометрии

Именно большим окружностям и отводится роль прямых в сферической геометрии. Как правило, через две точки на сфере, как и на плоскости, можно провести только одну сферическую прямую. Исключение составляют диаметрально противоположные точки: например, через полюсы на глобусе проходит бесконечно много меридианов. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через любые две точки на сфере, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. (На глобусе примером большого круга служит экватор и все меридианы.) Через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное количество больших кругов. Меньшая дуга AmB (рис. 2) большого круга является кратчайшей из всех линий на сфере, соединяющих заданные точки. Такая линия называется геодезической.

Рис.2

Геодезические линии играют на сфере ту же роль, что и прямые в планиметрии. Многие положения геометрии на плоскости справедливы и на сфере, но, в отличие от плоскости, две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Таким образом, в сферической геометрии просто не существует понятия параллельности. Еще одно отличие – сферическая прямая замкнута, т.е. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемся в исходную точку, точка не разбивает прямую на две части. Вот ещё удивление сферической геометрии: треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла, если, например, он ограничен двумя перпендикулярными меридианами и экватором.

Рис.3

Теперь познакомимся с понятиями сферической геометрии. При этом мы будем постоянно сравнивать их с понятиями обычной геометрии.

2.2. Прямые, отрезки, расстояния и углы на сфере

Прямыми на сфере считаются большие окружности. Если две точки принадлежат большой окружности, то длина меньшей из дуг, соединяющих эти точки, определяется как сферическое расстояние между этими точками, а сама дуга – как сферический отрезок. Диаметрально противоположные точки соединены бесконечным числом сферических отрезков – больших полуокружностей. Длина сферического отрезка определяется через радианную меру центрального угла  и радиус сферы R (рис. 4), по формуле длины дуги она равна R. Любая точка С сферического отрезка АВ разбивает его на два, и сумма их сферических длин, как и в планиметрии, равна длине всего отрезка, т.е. АОС + СОВ = АОВ. Для любой же точки D вне отрезка АВ имеет место «сферическое неравенство треугольника»: сумма сферических расстояний от D до А и от D до В больше АВ, т.е. AOD + DOB > AOB, – полное соответствие между сферической и плоской геометриями. Неравенство треугольника – одно из основополагающих в сферической геометрии, из него следует, что, как и в планиметрии, сферический отрезок короче любой сферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы.

Рис.4

Таким же образом на сферу можно перенести и многие другие понятия планиметрии, в частности те, которые можно выразить через расстояния. Например, сферическая окружность – множество точек сферы, равноудаленных от заданной точки Р. Легко показать, что окружность лежит в плоскости, перпендикулярной диаметру сферы РР` (рис. 5), т.е. это обычная плоская окружность с центром на диаметре РР`. Но сферических центров у нее два: Р и Р`. Эти центры принято называть полюсами. Если обратиться к глобусу, то можно видеть, что идет речь именно о таких окружностях, как параллели, и сферическими центрами всех параллелей являются Северный и Южный полюса. Если диаметр  сферической окружности равен 2, то сферическая окружность превращается в сферическую прямую. (На глобусе – экватор). В этом случае такую окружность называют полярой каждой из точек Р и P`.

Рис.5

Одним из важнейших понятий в геометрии является равенство фигур. Фигуры считаются равными, если одну на другую можно отобразить таким образом (поворотом и переносом), что сохранятся расстояния. Это верно и для сферической геометрии.

Углы на сфере определяются следующим образом. При пересечении двух сферических прямых a и b на сфере образуются четыре сферических двуугольника, подобно тому, как две пересекающиеся прямые на плоскости разбивают ее на четыре плоских угла (рис. 6).

Рис.6

Каждому из двуугольников соответствует двугранный угол АОВ, образованный диаметральными плоскостями, содержащими a и b.

2.3. Сферический треугольник

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них, можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношения между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности. Стороны треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС, углы треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла[1] (рис. 7).

рис. 7

Многие свойства сферического треугольника (а они одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника. Среди них – неравенство треугольника, которое на языке трехгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других. Или, например, три признака равенства треугольников. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концов отрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой, проходящей через его середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника AВС имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р`, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности (рис. 8). В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

рис. 8

Теоремы о пересечении высот и медиан также остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии используют параллельность, которой, на сфере нет, и потому проще доказать их заново, на языке стереометрии. Рис. 9 иллюстрирует доказательство сферической теоремы о медианах: плоскости, содержащие медианы сферического треугольника АВС, пересекают плоский треугольник с теми же вершинами по его обычным медианам, следовательно, все они содержат радиус сферы, проходящий через точку пересечения плоских медиан. Конец радиуса и будет общей точкой трех «сферических» медиан.

Рис. 9

Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости. Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: два треугольника АВС и А`В`С` равны, если равны соответственно три угла А = А`, В = В`, С = С`. Таким образом, на сфере не существует подобных треугольников, более того, в сферической геометрии нет самого понятия подобия, т.к. не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны с нарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрии Лобачевского. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными, таковы, например, треугольники АС`С и ВСС` (рис. 1).

рис. 10

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180. Разность А+В +С –  =  (измеряемая в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника. Площадь сферического треугольника: S = R2 где R – радиус сферы, а  – сферический избыток. Эта формула впервые была опубликована голландцем А.Жираром в 1629г. и названа его именем.

2.4. Координаты на сфере

Каждая точка на сфере определяется заданием двух чисел; эти числа (координаты) определяются следующим образом (рис. 11). Фиксируется некоторый большой круг QQ` (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра сферы PP`, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP`, выходящих из полюса (первый меридиан). Большие полукруги, выходящие из P, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, такие, как LL`, – параллелями. В качестве одной из координат точки M на сфере принимается угол  = POM (высота точки), в качестве второй – угол  = AON между первым меридианом и меридианом, проходящим через точку M (долгота точки, отсчитываемая против часовой стрелки).

рис. 11

В географии (на глобусе) в качестве первого меридиана принято использовать Гринвичский меридиан, проходящий через главный зал Гринвичской обсерватории (Гринвич – городской округ Лондона), он разделяет Землю на Восточное и Западное полушария, соответственно и долгота бывает восточной либо западной и измеряется от 0 до 180° в обе стороны от Гринвича. А вместо высоты точки в географии принято использовать широту, т.е. угол NOM = 90° – , отсчитываемый от экватора. Т.к. экватор делит Землю на Северное и Южное полушария, то и широта бывает северной либо южной и изменяется от до 9°. Сферические координаты с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами: x = r sinсоsy = r sin sinz = r соs

2.5. Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия – раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраическими тождествами тригонометрических функций применительно к сферическим треугольникам. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

Пусть А, В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (рис.12). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами Сферическая тригонометрия:

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А,

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;

рис.12

В этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами.

Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90`, а - гипотенуза, b, с- катеты) формулы Сферической тригонометрии упрощаются, например:

sin b = sin a sin В,

cos a = cos b cos c,

sin a cos B = cos b sin c.

Формулы Сферической тригонометрии позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Рассмотренные элементы сферической геометрии дают нам обобщенное представление о данной области математической науки.

2.6. Применение сферической геометрии на практике

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также геодезических съемках больших поверхностях земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.

Заключение

Подводя итоги проделанной работе, необходимо отметить, что в данной работе удалось: охарактеризовать специфику сферической геометрии как области математики на основе исторических фактов, определить основные понятия сферической геометрии, рассмотреть особенности фигур, расположенных на сфере, ознакомиться с главными учеными исследуемых сферическую геометрию в своих работах. Изучая особенности сферической геометрии, производилось сравнение с планиметрией и стереометрией.

Так же в работе было ознакомление, из каких потребностей возникла наука – сферическая геометрия, ее практическое применения в различных сферах знаний. Все это доказывает актуальность этого раздела математике в жизни человека.

Надеюсь, что и мне пригодятся эти знания при дальнейшем изучении геометрии в высшем учебном заведении.

Список литературы

Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия: Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1998.- 760 с.

АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранные вопросы математики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ.В/-М.: Просвещение 1992.

Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с.

Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы.-М: Просвещение, 2007.- 208 с.

Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с.

Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. – 2 –ое изд. испр. и доп. – М.: высш. школа, 1990. – 344 с.

Давидов А. Начала тригонометрии: 3-е изд., 1885.

Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч II. Геометрия в пространстве: учеб. для пед. инст-ов. –М. Л.: гос. изд-во техн-теоретич. литер. 1992. – 333 с.

Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.-М.:Просвещение, 1995.-240 с.

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики, М., Наука, 1984 г.

Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1985.-352с., ил.

Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Под ред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с.

[1] Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, лежащими в одной плоскости.