1. Собственные электромагнитные колебания
2. Затухающие электромагнитные колебания.
3. Вынужденные электромагнитные колебания.
4. Переменный ток
Собственные электромагнитные колебания
Пусть схема состоит из двух элементов: катушки индуктивности L и конденсатора C, соединенных в замкнутый контур. Наличием активного сопротивления соединительных проводов будем пренебрегать. Такой контур называют идеальным. Пусть в начальный момент конденсатор C заряжен так, что на одной из его пластин имеется заряд 
, а на другой 
.
Рис.22
В момент t=0 конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора будет равна:
, где q- заряд конденсатора в данный момент времени.
По мере разрядки конденсатора ток в катушке индуктивности нарастает.
При этом в катушке индуктивности будет возникать эдс самоиндукции равная 
.
В момент полной разрядки конденсатора сила тока в катушке достигнет максимума 
,т.е., если в начальный момент вся энергия контура была сосредоточена в конденсаторе в виде энергии электрического поля, то по мере разрядки конденсатора и увеличения силы тока в катушке, эта энергия будет переходить Рис.23
в энергию магнитного поля.
В момент 
, когда сила тока станет максимальной, эдс самоиндукции поменяет знак и будет поддерживать убывающий ток. Это приведет к тому, что на обкладках конденсатора появятся заряды противоположного знака, т.е. конденсатор будет перезаряжаться. И если потерь энергии в конденсаторе нет, то в момент 
на пластинах окажется заряд 
, но противоположного знака. В дальнейшем процесс повторится.
Основываясь на 2-ом правиле Кирхгофа, можно записать:
Учитывая, что 
, получим: 
или 
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка описывает свободные гармонические колебания в идеальном колебательном контуре, решение этого уравнения имеет вид:
. 
; 
- частота собственных колебаний в контуре, 
начальная фаза колебаний, Т- период собственных колебаний. Поскольку напряжение в контуре равно 
, следовательно, оно изменяется со временем по закону: 
, 
- амплитуда напряжения.
Закон изменения силы тока в таком контуре будет иметь вид:
. Амплитуда силы тока равна: 
.
Учитывая формулы приведения, получим: 
.
Получили, что заряд и напряжение в колебательном контуре изменяются синфазно, а ток опережает их колебания на 
.
Процесс электромагнитных колебаний обусловлен перекачкой энергии из конденсатора (в виде энергии электрического поля) в энергию катушки (в виде энергии магнитного поля)
= 
Учитывая, что 
, получим 
Рис.24
Полная энергия колебательного контура складывается из энергии электрического и магнитного полей, следовательно:
Т.Е полная энергия идеального колебательного контура является постоянной величиной.
Затухающие электромагнитные колебания.
Пусть контур содержит три элемента: конденсатор С, катушку индуктивности L и резистор, сопротивление которого R, соединенные последовательно.
.
Рис. 25
Сообщим конденсатору заряд . При разрядке конденсатора через резистор и катушку часть энергии электрического поля перейдет в джоулево тепло. Согласно 2-ому правилу Кирхгоффа, можно записать:
Или, учитывая что 
: , получим: 
.
Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка описывает затухающие колебания в реальном колебательном контуре.
Решение этого дифференциального уравнения, представляющее закон изменения заряда, можно представить в виде: 
,
где 
- частота затухающих колебаний.
Разделив функцию, описывающую изменение заряда на конденсаторе, получим закон изменения напряжения на конденсаторе:
= 
.
Что бы найти закон изменения силы тока продифференцируем функцию 
по времени:
Умножим правую часть полученного выражения на 
В результате получим: 
.
Введем угол 
, исходя из условий, что:
; 
Подставив эти тригонометрические функции в закон изменения силы тока, получим: 
.
.
Таким образом, при 
, ток опережает по фазе напряжение U на величину большую чем 
.
Скорость уменьшения амплитуды колебаний в реальном колебательном контуре характеризует логарифмический декремент затухания, который равен: 
,
где 
- амплитуда колебаний в данный момент времени, 
амплитуда колебаний через период.
- логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.
Вынужденные электромагнитные колебания.
Вынужденными называются колебания, совершаемые под действием внешней периодически изменяющейся эдс
Рис.26
Если подключить к колебательному контуру переменную эдс 
, то в контуре возникают вынужденные колебания. В этом случае в контуре действует две эдс. На основании 2-го правила Кирхгоффа можно записать:
где 
и 
- амплитуда и частота внешней эдс, соответственно.
.
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого можно представить в виде суммы частного решения неоднородного уравнения, имеющего вид: 
и общего решения однородного уравнения вида: 
.
Последняя функция описывает колебания при переходном процессе малой длительности, и можно считать, что установившиеся колебания, описываются решением вида: , 
где 
максимальное значение заряда на конденсаторе, 
разность фаз между колебаниями заряда и внешней эдс.
и 
не зависят от начальных условий и определяются только свойствами контура и величиной внешней эдс.
Подставив в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, получим, что эта функция является решением этого уравнения, если: 
и 
.
Полученные выражения показывают, что амплитуда заряда зависит от разности частот собственных колебаний и внешней эдс .
Закон изменения силы тока найдем, продифференцировав по времени:
.
Переменный ток. Закон Ома для переменного тока.
Переменным будем называть ток, сила которого изменяется по синусоидальному закону.
где 
амплитудное или пиковое значение силы тока, - его частота.
Более удобно характеризовать переменный ток эффективными значениями силы тока и напряжения.
; 
Эффективным значением силы переменного тока называется сила такого постоянного тока, при прохождении которого по той же цепи выделяется такая же мощность, что и при прохождении переменного тока.
1. Резистор в цепи переменного тока
Подключим резистор с сопротивлением R к переменной эдс . Сила тока через резистор
будет изменяться согласно закону Ома:
 |
,
отсюда следует, что:
,
Рис. 27 где 
.
Как видно, сила тока и напряжение в данном случае изменяются синфазно.
Рис.28
Электрическая энергия в резисторе переходит только в тепло и средняя мощность, выделяющаяся в цепи равна: 
.
2. Конденсатор в цепи переменного тока.
Рис.29. Рис. 30.
При подключении конденсатора с емкостью C к переменной эдс через него будет течь переменный ток. Это происходит потому, что при подключении переменного напряжения
Происходит перетекание заряда с одной обкладки на другую, но не успевает конденсатор полностью разрядится, как эдс меняет полярность, и заряды начинают течь в обратном направлении.
Согласно второму правилу Кирхгоффа эдс источника в любой момент должно быть равна напряжению в цепи на обкладках конденсатора
; 
; 
.
Т.е. заряд на конденсаторе меняется в одной фазе с напряжением.
Закон изменения силы тока в цепи найдем, продифференцировав 
по времени:
.
Воспользовавшись формулами приведения, перепишем закон изменения силы тока в виде
, где 
Т.е. в конденсаторе сила тока и напряжение не совпадают по фазе. Ток опережает напряжение на 
. Рис. 30
Согласно закону Ома в резисторе: 
.
По аналогии запишем, что 
, 
.
называется реактивным емкостным сопротивлением цепи переменного тока и измеряется в Омах.
3. Индуктивность в цепи переменного тока.
Подключим катушку с индуктивностью L к переменной эдс . Будем считать, что активное сопротивление самой катушки и подводящих проводов пренебрежимо мало.
В данном случае в цепи действует две эдс: эдс
самоиндукции 
и переменная эдс , равная
Согласно 2-ому правилу Кирхгоффа можно
Рис.31 записать:
Найдем силу тока в цепи. Для этого разделим переменные, а затем проинтегрируем правую и левую части полученного уравнения:
.
Поскольку 
, перепишем полученное выражение:
,
где 
.
Получается, что сила тока в катушке отстает от внешней эдс на .
Рис.32
Соотношение между амплитудными значениями силы тока эдс, учитывая закон Ома, можно записать: 
.
И так как , получим, что 
. Это реактивная составляющая полного сопротивления называется индуктивным сопротивлением.
4. R,L,C цепочка в цепи переменного тока.
Если цепь состоит из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности, то полное сопротивление такой цепи будет равно:
Z- называется электрическим импедансом цепи.
Рис.33
В этом случае закон Ома будет иметь вид: 
..
При этом ток будет отставать от напряжения на угол 
, у которого 
.
Изобразим это с помощью векторной диаграммы.
Пусть ось токов совпадает с осью OX.
Напряжение на резисторе совпадает с
током, следовательно, вектор, модуль
которого равен амплитудному значению
напряжения 
, будет направлен по
оси OX.
Рис.34 Напряжение на катушке опережает ток на
, и, следовательно, вектор, модуль которого равен 
, направлен по оси OY.
Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на , поэтому, соответствующий вектор, модуль которого равен 
, направлен вниз по оси OY.
Направление вектора, определяющего модуль результирующего напряжения U, получим путем векторного сложения всех трех векторов, и его численное значение будет равно:
Разность фаз между колебаниями тока и напряжения в R,L,C цепочке равна углу, у которого:
.
Амплитуда силы тока достигает своего максимального значения 
при наименьшем значении полного сопротивления Z, т.е.
Сдвиг по фазе между колебаниями внешней эдс и силой тока при этом становится тое равным нулю. Активная мощность совпадает с мощностью источника.
Амплитуды напряжения на катушке и конденсаторе в этом случае одинаковы по величине, но противоположны по фазе. Полное падение напряжения в цепочке равно падению напряжения на активном сопротивлении. Это явление называется резонансом напряжений.
Резкое уменьшение амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные емкостное 
и индуктивное 
сопротивления при условии, что 
называется резонансом токов.
ЛЕКЦИЯ 5