Теорема Ферма. Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя. Вычисление пределов

Глава 4.

Занятие 6.

Напомним определения локальных экстремумов функций.

Определение 6.1. Функция имеет локальный максимум в точке , если существует открытый интервал , содержащий эту точку и такой, что для всех из этого интервала.

Функция имеет локальный минимум в точке , если существует открытый интервал , содержащий эту точку и такой, что для всех из этого интервала.

Замечание. Точка из определения 1 называется точкой локального экстремума. Значение функции в этой точке называется значением локального экстремума.

Определение критической точки функции. Пусть функция задана на интервале .

Точка называется критической точкой функции тогда и только тогда, когда выполнены условия:

а) производная функции существует и или в) не существует.

Теорема Ферма. Если функция имеет в точке локальный экстремум, то эта точка является критической точкой.

Доказательство. Пусть точка экстремальная. Если в точке производная не существует, то по определению она критическая. Если в точке производная существует, то докажем, что в этом случае она равна нулю. Для простоты рассмотрим случай, когда экстремальная точка является точкой локального минимума. То есть если лежит вблизи , то и . Если точка лежит слева от точки , то и

Если точка лежит справа от точки , то и

Так как по предположению производная существует, то левый предел должен быть равен правому пределу. А это возможно когда .Аналогично рассматривается случай, когда точка является точкой локального максимума.

Теорема о среднем в дифференцировании (т. ЛАГРАНЖА).

Пусть функция непрерывна в замкнутом интервале и имеет производную в каждой точке . Тогда найдётся, по крайней мере, одна точка из интервала такая, что

(6.1)

Или

(6.2)

Геометрический смысл теоремы о среднем простой. Дробное отношение в левой части равенства (6.1) это тангенс угла наклона секущей прямой проходящей через конечные точки графика . Производная в точке в правой части (6.1) это тангенс угла наклона касательной прямой. Теорема говорит о том, что для секущей прямой проходящей через конечные точки графика всегда найдётся параллельная ей касательная к графику (рис. 6.1).

рис.6.1

Доказательство. Рассмотрим сначала простой случай, когда на концах графика .

Рис.6.2 Рис.6.3

В этом случае секущая прямая параллельна оси ОХ. Нужно доказать, что существует точка , в которой . Если график такой, что в любой точке , то в каждой , так как производная постоянной равна нулю. Если это не так, то возможны только две ситуации:

а) у функции есть локальный минимум; в) у функции есть локальный максимум на рисунках 6.2 и 6.3 такие возможности показаны. Из теоремы Ферма следует, что в точках локальных экстремумов дифференцируемых функций производные равны нулю.

Перейдем к доказательству в общем случае. Пусть (Рис.6.1). Доказательство легко сводится к предыдущей ситуации. Рассмотрим вспомогательную функцию

(6.3)

Проверяем

Для функции выполнены все условия теоремы о среднем и . Следовательно, существует точка в которой . Отсюда

И теорема (ЛАГРАНЖА) о среднем в дифференцировании доказана.

Рассмотрим полезное обобщение теоремы о среднем в дифференцировании.

Теорема Коши. Пусть - непрерывные на отрезке функции, у которых производные определены и непрерывны на , причём . Тогда существует число такое, что справедлива формула

(6.4)

Замечание. Если в теореме Коши взять , то мы получим теорему Лагранжа. Поэтому, теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа.

Доказательство. Доказывать будем по схеме доказательства теоремы Лагранжа.

Рассмотрим вспомогательную функцию .

, так как по условию . Проверкой убеждаемся, что Вычислим производную функции на интервале

По теореме Ферма существует точка , что

или .

Теорема Коши доказана.

Полезное следствие. Если , то для любых существует число , что

(6.5)

Используя полученную формулу (6.5), докажем метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя. Это правило применяется для вычисления предельных значений отношения бесконечно малых при , если . Причём если .

Первое правило Лопиталя. Если и предельное значение

, то

(6.6)

Доказательство. Из формулы (6.5) для любого всегда найдётся между

такое, что . Отсюда следует, если

и поэтому

(6.7)

Аналогично доказывается

(6.8)

Так как по условию теоремы , то

Из (6.7) и (6.8) следует .

Первое правило Лопиталя доказано.

Замечание. Первое правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда .

Пример 6.1. Вычислить пределы1) ; 2) .

Вычисляем первый предел .

Вычисляем второй предел

Применяем правило Лопиталя повторно

Краткая запись будет выглядеть так

Второе правило Лопиталя. Если и предельное значение существует, то

(6.9)

Замечание. Второе правило не изменится, если заменить условие условием и считать в условии теоремы .

Примем это правило без доказательства. Доказательство можно найти в любом курсе математического анализа.

Замечание. При пользовании правилом Лопиталя, не путайте правильное выражение с неправильным выражением.

Пример 6. 2. Используя второе правило Лопиталя вычислить пределы

Решение. 1) Вычисляем предварительно .

Тогда

Тогда по правилу (6.6)

2) Вычисляем предварительно . Применяем правило

Результат показывает, что правило нужно применять повторно

Пример 6.3. Докажем формулу второго замечательного предела . Положим . Вычислим предел функции

Таким образом . Так как логарифмическая функция непрерывна, то

Различные случаи применения правила лопиталя. Вычисление горизонтальных асимптот графиков.

Правило Лопиталя позволяет вычислять не только пределы дробей типа , но также пределы и других типов. Рассмотрим различные случаи.

1 случай . Найти предел .

Решение. Вычисление данного предела сводим к использованию правила Лопиталя.

Для этого преобразуем выражение к общему знаменателю

. Переходя к пределу, получим =

= .

2 случай (). Найти пределы 1) ; 2)

Решение. 1) Вычисление данного предела сводим к использованию правила Лопиталя.

Для этого преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования степени. Обозначим .

Тогда . Вычисляем предел полученного выражения

. Итак .

Так как логарифмическая функция непрерывна, то

или =1.

2) Преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования

; Переходя к пределу пользуемся правилом Лопиталя

;

Обозначим . Так как логарифмическая функция непрерывна, то

0= . Или .

3 случай . Найти пределы 1) ; 2)

Вычисление данного предела сводим к использованию правила Лопиталя. Для этого преобразуем данное выражение к дроби с помощью операции логарифмирования Обозначим . Тогда . Вычисляем предел полученного выражения . По аналогии с предыдущими примерами