Пример решения многокритериальной задачи методом PROMETHEE
Сокращения
Для краткости и компактности изложения материала, договоримся о следующих аббревиатурах (сокращениях):
МКЗ – многокритериальная задача
ЛПР – лицо, принимающее решение
ФП – функция предпочтения
Выделение множества, оптимального по Парето
Рассмотрим решение МКЗ методами PROMETHEE I, II, используя в качестве входных данных матрицу единичных критериев (табл. 1). Вариантами (объектами) в этой задаче являются работодатели. Считаем, что ЛПР оценивает этих работодателей только по 3 параметрам (критериям), которые его интересуют, а остальные параметры во внимание не берёт.
Таблица 1. Матрица единичных критериев
| Зарплата, | Удалённость, | Перспектива | |
| Альтернатива | тыс. руб. | мин. | |
| В1 | |||
| В2 | |||
| В3 | |||
| В4 | |||
| В5 | |||
| В6 |
Сначала следует выделить множество, оптимальное по Парето, то есть исключить те объекты, которые по объективным причинам не могут выбраны в качестве лучших. В данном примере это работодатель В6. В самом деле, работодатель В1 предлагает зарплату и перспективу выше при такой же удалённости. Поэтому нет объективных причин из множества всех работодателей выбирать В6.
Оставшиеся 5 объектов образуют множество, оптимальное по Парето. В ходе дальнейшего решения будем рассматривать только это множество, а объект В6 вычеркнем из таблицы.
Таблица 2. Паретооптимальное множество объектов
| Зарплата, | Удалённость, | Перспектива | |
| тыс. руб. | мин. | ||
| В1 | |||
| В2 | |||
| В3 | |||
| В4 | |||
| В5 | |||
| В6 |
Обработка значений объектов по критерию «Зарплата»
Для решения задачи методом PROMETHEE от ЛПР требуется задать не только коэффициенты важности (веса) критериев, но и функцию предпочтения (ФП) для каждого критерия. ФП показывает, насколько значима для ЛПР разница значений двух объектов по выбранному критерию. Например, ФП, график которой изображён на рис. 1, говорит о том, что разница в зарплате 5 тысяч рублей и менее не существенна, а вот разница в 10 тысяч рублей – существенна. Несущественность означает, что ФП равна 0, а существенность означает, что ФП равна 1. Отметим, что в области от 5 тысяч рублей до 10 тысяч рублей ФП принимает значения от 0 до 1. Это так называемая область слабого предпочтения.
| H1(d) | |||||||||||||||
| 0,8 | |||||||||||||||
| 0,6 | |||||||||||||||
| 0,4 | |||||||||||||||
| 0,2 | |||||||||||||||
| рис. 1. Функция предпочтения для критерия "Зарплата" |
Далее строим матрицу (см. табл. 3), в которую заносим значения ФП.
Таблица 3. Значения функции предпочтения для критерия "Зарплата"
| Альтернативы | В1 | В2 | В3 | В4 | В5 |
| В1 | |||||
| В2 | |||||
| В3 | |||||
| В4 | |||||
| В5 |
Рассмотрим подробно только заполнение первой строки:
| 1(75 – 75) | = 1(0)= 0 |
| 1(75 – 60) | = 1(15)= 1 |
| 1(75 – 80) | = 1(−5) = 0 |
| 1(75 – 80) | = 1(−5) = 0 |
| 1(75 – 65) | = 1(10)= 1 |
Аналогичным образом заполняются оставшиеся 4 строки.
Обработка значений объектов по критерию «Удалённость»
Заметим, что второй критерий, удалённость, является убывающим. То есть, чем меньше удалённость, тем предпочтительнее объект. На ФП (см. рис. 2) это отразится тем, что она будет убывать, а не возрастать, как это было с первым критерием, с зарплатой.
Обратите внимание, что в случае с зарплатой нам хотелось получить большую по модулю положительную разность (например, 100 т.р. – 20 т.р. = 80 т.р.). А в случае с удалённостью хочется получить большую по модулю отрицательную разность. Например, 20 мин. – 60 мин. = -40 мин.
| H2(d) | |||||||
| 0,8 | |||||||
| 0,6 | |||||||
| 0,4 | |||||||
| 0,2 | |||||||
| -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 | -8 | -6 | -4 | -2 | |||
| рис. 2. Функция предпочтения для критерия "Удалённость" |
Рассмотрим подробно только заполнение первой строки таблицы:
| 2(60 – 60) | = 2(0)= 0 |
| 2(60 – 50) | = 2(10)= 0 |
| 2(60 – 80) | = 2(−20) = 1 |
| 2(60 – 70) | = 2(−10) = 0 |
| 2(60 – 60) | = 2(0)= 0 |
| Оставшиеся строки заполняются аналогичным образом. | ||||||||
| Таблица 4. Значения функции предпочтения для критерия "Удалённость" | ||||||||
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | ||||
| В1 | ||||||||
| В2 | ||||||||
| В3 | ||||||||
| В4 | ||||||||
| В5 |