H3(d)
0,8
0,6
0,4
0,2
-1 | |||||||||
рис. 3. Функция предпочтения для критерия "Перспектива" | |||||||||
Таблица 5. Значения функции предпочтения для критерия "Перспектива" | |||||||||
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||||
В1 | |||||||||
В2 | |||||||||
В3 | |||||||||
В4 | |||||||||
В5 |
Построение матрицы индексов предпочтения
По определению, матрица индексов предпочтения ‖П ‖ состоит из чисел, вычисляемых по
формуле: П = ∑ (−)=1
Что касается весов критериев, то в нашем случае будем считать, что вес зарплаты составляет 40%, вес удалённости – 30% и вес перспектив тоже 30%. Существует всего 2 требования к весам. Во-первых, они должны быть положительными. А, во-вторых, в сумме они должны давать 1.
Меняя значения весов критериев можно получать разные результаты решения задачи. Например, если вес зарплаты будет очень большим, то наиболее предпочтительными объектами станут B3 и B4, поскольку эти работодатели предлагают самую высокую зарплату (80 т.р.).
На практике вес критериев либо задаётся ЛПР, либо вычисляется другими методами, о которых мы здесь говорить не будем. Отметим только, что в задачах, которые будут встречаться в курсе веса критериев так или иначе получены, то есть заданы и мы можем их использовать в процессе решения МКЗ.
Таблица 6. Сводная таблица значений ФП
Зарплата | 0,40 | |||||||||
Удалённость | 0,30 | |||||||||
Перспективные | 0,30 | |||||||||
Для наглядности все результаты проделанной выше работы и веса критериев собраны в табл. 6. Чтобы построить матрицу индексов предпочтения (табл. 7), нужно складывать значения всех (в нашем случае трёх) получившихся матриц, предварительно умножая их на весовой коэффициент. Закономерность можно проследить по клеткам, закрашенным в тёмно-синий и бордовый цвет в таблицах 6 и 7.
Таблица 7. Матрица индексов предпочтения
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | Ф+ | ||
В1 | 0,4 | 0,3 | 0,3 | 0,4 | 1,4 | ||
В2 | |||||||
0,3 | 0,6 | 0,6 | 0,3 | 1,8 | |||
В3 | 0,3 | 0,4 | 0,3 | 0,4 | 1,4 | ||
В4 | 0,4 | 0,4 | 0,8 | ||||
В5 | 0,3 | 0,6 | 0,3 | 1,2 | |||
Ф- | 0,9 | 1,2 | 1,5 | 1,5 | 1,5 |
Далее, по матрице индексов предпочтения вычисляются коэффициенты прямого (Ф+) и обратного (Ф−) предпочтения. Коэффициенты прямого предпочтения представляют собой сумму значений матрицы индексов предпочтения по строкам, а коэффициенты обратного предпочтения – по столбцам.
Смысл этих коэффициентов достаточно прост. Коэффициент прямого предпочтения Ф+ показывает, насколько «хорош» объект в сравнении с другими объектами выборки. А коэффициент обратного предпочтения Ф− - насколько «плох» в сравнении с другими объектами выборки данный объект.
Матрица индексов предпочтения и коэффициенты прямого и обратного предпочтения являются информативной базой для разных модификаций метода PROMETHEE и по разному в них обрабатываются
Номер модификации принято записывать римскими цифрами после названия метода. Например, PROMETHEE II, ORESTE IV. Вообще говоря, PROMETHEE – это целое семейство методов, поэтому следует указывать не только название, но и номер модификации, чтобы однозначно идентифицировать метод. Рассмотрим подробнее первую и вторую модификацию семейства методов PROMETHEE.
PROMETHEE I
Результатом работы метода PROMETHEE I является матрица бинарных отношений. То есть матрица, в которой для всех пар объектов указывается одно из отношений:
~ – отношение безразличия (эквивалентности) двух объектов
N – отношение несравнимости двух объектов– отношение строгого предпочтения
В методе PROMETHEE I предпочтения строятся по правилам, указанным в табл. 8.
Таблица 8. Правила построения матрицы бинарных отношений в методе PROMETHEE I | |||
Вид отношения | Достаточные условия | ||
В1≻ В2 | (Ф1+ > Ф2+) & (Ф1− < Ф2−) | ||
В2≻ В1 | (Ф1+ < Ф2+) & (Ф1− >Ф2−) | ||
N | (Ф+>(<) Ф+) & (Ф+>(<) Ф+) | ||
~ | отношение безразличия |
В примере, который рассматривается здесь, получим следующую матрицу бинарных отношений (см. табл. 9):
Таблица 9. Матрица бинарных отношений,
полученная методом PROMETHEE I
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |
В1 | ~ | N | ≻ | ≻ | ≻ |
В2 | N | ~ | ≻ | ≻ | ≻ |
В3 | ≺ | ≺ | ~ | ≻ | ≻ |
В4 | ≺ | ≺ | ≺ | ~ | ≺ |
В5 | ≺ | ≺ | ≺ | ≻ | ~ |
PROMETHEE II
В отличие от первой модификации, возвращающей матрицу бинарных отношений, вторая модификация метода PROMETHEE возвращает вектор рангов объектов. То есть упорядочивает объекты от лучшего (точнее от самого предпочтительного) к худшему (к наименее предпочтительному).
Для этого вычисляются разности Ф = Ф+ − Ф− для каждого объекта, а затем упорядочиваются в порядке убывания. То есть строятся ранги объектов в соответствии с правилом: самому большому значению Ф ставим ранг, равный 1. В итоге каждый объект получает свой ранг. Самые предпочтительные объекты имеют малые по значению ранги. То есть ранги можно рассматривать как номер в рейтинге самых лучших объектов.
Для рассматриваемого примера получили следующий результат (см. табл. 10
Таблица 10. Вектор рангов объектов,
полученный методом PROMETHEE II
Ф1 | Ф2 | Ф3 | Ф4 | Ф5 | |
Значение | 0,5 | 0,6 | -0,1 | -0,7 | -0,3 |
Ранг |
Этот же результат можно переписать в виде:
Ф2 ≻ Ф1 ≻ Ф3 ≻ Ф 5 ≻ Ф 4
Следовательно, из полученных данных выявили, что наиболее предпочтительней оказалась альтернатива под номер 2.