Решение задач по теме «Перпендикулярность в пространстве» Часть 2

1) Из точки S вне плоскости проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС

Дано:

- наклонные

Доказать: О – центр окружности

Доказательство

1) , строим

2) Рассмотрим , так как - общий катет, - по условию - по катету и гипотенузе. Значит, , то есть т. О – равноудалена от вершин - центр окружности, описанной около .

2) К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найти расстояние от концов этого перпендикуляра до сторон треугольника

Дано:

, м

Окр ( м)

Найти:

Решение

1) Построим радиусы вписанной в треугольник АВС м;

, , по теореме о 3-х перпендикулярах

Рассмотрим плоские треугольники в соответствующих плоскостях (по двум катетам – катет DO –общий а остальные – радиусы вписанной окружности), откуда

: м. Ответ: 2,5 м.

Вывод:

Пусть - произвольный

1) , если

О – точка пересечения биссектрис – центр вписанной и описанной окружностей

, где - расстояние до вершины треугольника АВС

- радиус описанной окружности

2) , где - расстояние до стороны треугольника АВС - радиус вписанной окружности

1) Если расстояния от вершины до вершин равны, то , радиус описанной около треугольника АВС окружности, где

2) Если расстояние от точки до сторон равны, то радиус вписанной в треугольник АВС окружности, где

3) Расстояния от точки S до всех сторон квадрата равны а. Найти расстояние от точки S до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.

Дано: - квадрат

Найти: .

Решение

1) - искомое расстояние

2) по теореме о трех перпендикулярах , - как проекции равных наклонных. О – центр окружности вписанной в квадрат (так как радиус вписанной в квадрат окружности рамен половине стороны квадрата)

АВ найдем из , ,

Из : Ответ:

4) Через конец А отрезка АВ длиной b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая m. Найти расстояние от точки В до прямой m, если расстояние от точки А до прямой m равно а.

Дано:

Найти: ВС

Решение:

Так как , то , по теореме о 3 перпендикулярах ВС – расстояние от точки В до прямой с. Построим плоскость (АВС), где - плоский, прямоугольный по условию, следовательно, согласно теореме Пифагора: Ответ:

5) Расстояние от точки А до вершин квадрата равны а. Найти расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b (аналогично задаче 4)

Краткий анализ решения задачи:

найдем из

, так как (по катету и гипотенузе)

; - ответ

8) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВС на прямую пересечения этих плоскостей. Найти длину отрезка АВ, если , ,

Дано:

, ,

Найти:

Решение

= m, строим и - перпендикуляры к прямой m

Рассмотрим плоские треугольники в соответствующих плоскостях: , , , - по построению

по теореме о 3-х перпендикулярах ,

Если , , , то по теореме Пифагора из ,

из ;

Ответ:

6) Перпендикулярные плоскости по прямой с. В плоскости a проведена прямая , а в плоскости b - прямая . Найти расстояние между прямыми и , если расстояние между прямыми и с равно 1,5 м, а между и с равно 0.8 м