Тема 2.2. Элементы теории оценок и проверка гипотез

Выборка задана в виде распределения частот:

х_i 5 8 9 13 18

n_i 3 5 6 7 4

Найти распределение относительных частот и основные харак­теристики вариационного ряда.

Пример 3. Даны 5 наблюдений над случайной величиной скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/ч): . Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания при , когда дисперсия - неизвестна. Как изменится доверительный интервал, если при тех же значениях средней скорости и выборочной дисперсии число наблюдений возрастет в 10 раз?

Решение. Из условия известно, что . По имеющимся данным вычислим:

1.Для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

.

2. Выборочную дисперсию вычислим по формуле

или

3.Среднее квадратическое откло­нение

σ =

По таблице 4 приложения (В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по Т.В.и М.С.) находим, что при и . Вычислим доверительный интервал:

;

Получили доверительный интервал для скорости, которую можно ожидать на данном участке шоссе.

Если число наблюдений возрастет в 10 раз (), вновь воспользуемся той же формулой для построения интервала. По таблице 4 приложения находим, что . Тогда

;

.

Пример 4. Социологические обследования дали следующие результаты. Из 1000 опрошенных людей 849 никогда не обращались за юридической консультацией, из них 649 занимаются предпринимательской деятельностью, а 200 работают на государственных предприятиях. И из 151 обращавшегося респондента 101 человек занимался предпринимательской деятельностью, а 50 – нет. По имеющимся данным:1) построить таблицу сопряженности; 2) оценить условные и безусловные вероятности признаков; 3) оценить тесноту связи между признаками; 4) при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков; 5) изменится ли характер зависимости, если все данные увеличить в 25 раз?

Решение. 1. Пусть признак A – человек занимается предпринимательской деятельностью; признак B – человек обращался за юридической консультацией. Тогда, согласно условию: и таблица сопряженности имеет вид

Признаки			Всего
Всего

2. Вычислим оценки условных и безусловных вероятностей.

3. Тесноту связи между признаками оценим, вычислив эмпирический коэффициент корреляции событий

.

Так как полученное значение коэффициента мало, можно предположить, что зависимость между A и B практически отсутствует.

4. Найдем значение статистики

Из таблицы 3 приложения нашли при . Учитывая, что нулевая гипотеза принимается и делается вывод – обращение за юридической консультацией не зависит от того занимается ли человек своим бизнесом или работает на государственном предприятии.

.

5. При увеличении данных в 25 раз опять подсчитаем статистику

Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, что говорит о наличии связи между признаками, оценим тесноту связи:

,

Теснота связи между A и B остается прежней, ее значения не зависят от числа наблюдений.

Пример 5. решить самостоятельно. Даны 5 наблюдений над случайной величиной скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/ч): Х1=84,9; Х2=88,1; Х3=71,3; Х4=81,5; Х5=69,6. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания при , когда дисперсия - неизвестна. Как изменится доверительный интервал, если при тех же значениях средней скорости и выборочной дисперсии число наблюдений возрастет в 10 раз?

Пример 6. решить самостоятельно. Социологические обследования дали следующие результаты. Из 1000 опрошенных людей 862 никогда не обращались за юридической консультацией, из них 642 занимаются предпринимательской деятельностью, а 220 работают на государственных предприятиях. И из 138 обращавшегося респондента 101 человек занимался предпринимательской деятельностью, а 37 – нет. По имеющимся данным:1) построить таблицу сопряженности; 2) оценить условные и безусловные вероятности признаков; 3) оценить тесноту связи между признаками; 4) при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков; 5) изменится ли характер зависимости, если все данные увеличить в 25 раз?

Разобрать решенные задачи:

Пример 7. При обработке наблюдений из 900 торговых точек за количеством проданных шампуней и соответствующих им лечебных бальзамов был найден выборочный коэффициент линейной корреляции . По имеющимся данным построить доверительный интервал для коэффициента линейной корреляции с доверительной вероятностью .

Решение. По таблице приложения 2 находим для соответствующее значение . Согласно формуле доверительный интервал выглядит следующим образом:

Следовательно, при заданной доверительной вероятности истинное значение может варьировать в пределах от 0,777 до 0,823 и зависимость между случайными величинами и сильная.

Пример 8. По выборке найден выборочный коэффициент линейной корреляции . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента линейной корреляции против .

Решение. Известно, что , . Вычислим статистику :

.

Из таблицы приложения 4 находим, что при , значение критической точки распределения Стьюдента . Поскольку 4,78>1,9799, то есть , то нулевая гипотеза отвергается, величины и зависимы, поскольку .

Пример 9. решить самостоятельно. При обработке наблюдений из 700 торговых точек за количеством проданных шампуней и соответствующих им лечебных бальзамов был найден выборочный коэффициент линейной корреляции . По имеющимся данным построить доверительный интервал для коэффициента линейной корреляции с доверительной вероятностью .

Пример 10. решить самостоятельно. По выборке n=132 найден выборочный коэффициент линейной корреляции . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента линейной корреляции против .