Методические указания к практическим занятиям

Саратовский государственный технический университет

 

МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ

ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ»

для студентов специальности 210100 и направления 550200

 

 

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

 

 

Саратов 2006

ВВЕДЕНИЕ

В управляемых системах используют различные формы представления математических моделей непрерывных динамических систем как одномерных, так и многомерных. Это представление моделей в виде передаточных функций и матриц, в виде дифференциальных уравнений, в форме Коши. Рассматриваются способы перехода от одной формы представления модели к другой.

Практические занятия имеют своей целью систематизацию, закрепление, расширение теоретических знаний и получение практических навыков при решении конкретных технических задач: развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.

Задачи, рассматриваемые в методических указаниях, соответствуют рекомендациям программы изучения дисциплины, призваны способствовать лучшему усвоению теоретического материала, изучаемого в соответствующем разделе.

 

 

 

ФОРМЫПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основные формы представления математических моделей одномерных систем: дифференциальное уравнение, передаточная функция, форма Коши.

Математическая модель в форме дифференциального уравнения имеет вид:

, (1)

где – -я и -я производные по времени от и соответственно.

Операторная (символическая) форма записи дифференциального уравнения:

,

где – оператор дифференцирования.

Математическая модель в форме передаточной функции:

, (2)

где – оператор Лапласа, – комплексная переменная.

Математическая модель в форме Коши:

(3)

где – -мерный вектор состояний; – выходная переменная; – входная переменная (управление); – матрицы чисел размерами соответственно; – число.

 

 

ФОРМЫПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Формы представления математических моделей многомерных систем: форма Коши, форма «вход-выход», передаточная матрица.

Модель многомерной системы в форме Коши имеет вид:

, (4)

, (5)

где – -мерный вектор состояний; – -мерный вектор выходных переменных; – -мерный вектор входных переменных (управлений); – матрицы размеров соответственно.

Векторно-матричное дифференциальное уравнение (4) называется уравнением состояний, а векторно-матричное алгебраическое уравнение (5) – уравнением выходов.

Математическая модель в виде передаточной матрицы.

Передаточная матрица связывает изображение Лапласа вектора выходных переменных с изображением Лапласа вектора входных переменных и имеет вид:

. (6)

Уравнение в форме «вход-выход»:

, (7)

где , – полиномиальные матрицы.

Пример 1. Для электрической схемы (рис.1) составить математическую модель: а) в виде дифференциального уравнения; б) в виде передаточной функции; в) в виде уравнений в форме Коши.

Рис.1

Замечание. В качестве входного (управляющего) воздействия принять , в качестве выходного – .

Решение.

а) Из закона Кирхгофа

и выражений

получаем математическую модель в виде дифференциального уравнения:

. (8)

Операторный вид уравнения (8)

.

б) Математическая модель в виде передаточной функции получается путем применения оператора Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (8) при нулевых начальных значениях функций и их производных:

где

в) Введем обозначения:

(9)

Продифференцируем (9) по времени:

(10)

Из первого уравнения (10) и выражения (8) следует, что .

Из второго уравнения (10) и первого уравнения (9) получаем:

.

Выразим из второго уравнения (9): , (11)

и подставим в выражения для и :

(12)

Уравнения (11), (12) в векторно-матричной форме имеют вид (3):

где , а матрицы A, B, C, D имеют вид:

.

Пример 2. Для электрической схемы (рис. 2): а) построить математическую модель в форме Коши; б) получить передаточную матрицу, связывающую изображения входных переменных ( – напряжения источников) и изображения выходных переменных ( – напряжения на сопротивлениях и ).

Рис. 2

Решение.

а) По закону Кирхгофа для узла 1 имеем:

или . (13)

Рассмотрим контуры I и II. По закону Кирхгофа для напряжений получаем:

, (14)

. (15)

Введем обозначения: .

Тогда выражения (13), (14), (15) можно записать в виде:

(16)

Уравнения для выходных переменных:

. (17)

Объединив уравнения (16), (17), получаем математическую модель электрической схемы в форме Коши (выражения (4), (5)):

где ,

, , , .

Подставив числовые значения параметров (рис. 2), получим:

.

б) Так как , то .

,

.

Тогда

.

Окончательно выражение для математической модели в виде передаточной матрицы будет иметь следующий вид:

.

Зная передаточную матрицу, можно записать дифференциальные уравнения, связывающие выходные и входные переменные. Из выражения для следует:

Переходя к оригиналам, получим:

или

Пример 3. Дана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения 3-го порядка:

. (18)

Получить математическую модель системы в форме Коши двумя способами (в формах Крылова – Люенбергера и Фробениуса).

Решение.

Способ 1. Введем переменные , , следующим образом:

(19)

Продифференцируем систему уравнений (19) по времени:

(20)

Сопоставляя первое уравнение (20) с выражением (18), второе уравнение (20) с первым уравнением (19), третье уравнение (20) со вторым уравнением (19), получим:

(21)

Из третьего уравнения (19) выразим: , (22)

и подставим в (21):

(23)

Введем в (22), (23) обозначения:

.

Совокупность уравнений (22), (23) и есть математическая модель системы в форме Коши (3) (форма Крылова–Люенбергера).

 

Способ 2. Запишем уравнение (18) в операторном виде:

. 24)

Выражение (24) можно переписать следующим образом:

, (25)

откуда , (26)

. (27)

Введем обозначения: . (28)

С учетом (28) соотношение (27) можно переписать в виде:

,

или . (29)

Так как , то из (29) следует, что

. (30)

Окончательно получим, объединив (26), (28), (30):

(31)

Вводя обозначения

,

получаем математическую модель системы в форме Коши (3) (форма Фробениуса).

Замечание. Приведенные алгоритмы перехода к форме Коши можно распространить на модели систем в виде дифференциальных уравнений произвольного порядка.

Пример 4. Задана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения без производных в правой части:

. (32)

Получить математическую модель системы в форме Коши.

Решение.

Введём переменные следующим образом:

. (33)

 

 

Из выражений (32), (33) следует:

(34)

С учетом (33) выражения (34) примут вид:

(35)

Добавив к (35) уравнение выхода , (36)

получим математическую модель в форме Коши, то есть в виде (3), где обозначено

.

Пример 5. Для электрической схемы (рис. 3):

а) составить математическую модель в форме Коши;

б) построить выражение для математической модели в виде передаточной матрицы, связывающей изображения входных переменных и выходных переменных ;

в) определить матрицу , элементами которой являются импульсные переходные характеристики для -го выхода относительно -го входа (при нулевых состояниях на всех остальных входах).

Рис. 3

Решение.

а) По аналогии с примером 2 уравнения электрической схемы можно получить в виде:

, .

Эти уравнения записаны в форме Коши (4), (5).

При Ф, Гн, [1/Ом], Ом соответствующие матрицы получают следующие численные значения:

.

 

б) Аналогично примеру 2 находим:

,

.

Тогда выражение для математической модели в виде передаточной матрицы принимает вид:

,

или .

Таким образом,

.

в) Так как изображение -й выходной переменной

,

то элементы матрицы можно рассматривать как скалярные передаточные функции от -го входа к -му выходу, причем

при .

Зная , можно получить импульсные переходные характеристики . Переходя в выражении к оригиналам, получим:

.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

1. Задана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения (табл. 1). Требуется:

а) записать математическую модель системы в форме Коши двумя способами (в формах Фробениуса и Крылова–Люенбергера);

б) записать математическую модель системы в виде передаточной функции;

в) с помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ получить модель в переменных состояния (форма Коши).

Таблица 1

Номер варианта	Дифференциальное уравнение

 

2. Выполнить задания примера 2 для числовых данных, заданных в табл. 2.

Таблица 2

Номер варианта	Значения параметров
, Ом	, Ом	, Гн	, Гн	, Ф
					0,2
			0,5	0,5	0,2
			0,5	0,5	0,5
			0,5		0,5
				0,5	0,5
			0,5	0,4	0,5
			0,4	0,5	0,2
	0,5		0,5	0,5	0,25
		0,5		0,5	0,25
					0,2
					0,5
				1,5
			1,5		0,4
					0,5
					0,1
					0,02
					0,02
					0,04
					0,04
					0,05
					0,05
					0,1
					0,1
					0,2
					0,5

 

3. Для числовых данных примера 2 (табл. 2) с помощью функций ss и tf системы МАТЛАБ получить модель в виде передаточной функции.

4. Выполнить задания примера 5 для числовых данных, заданных в табл. 3.

 

. Таблица 3

Номер варианта	Значения параметров
, Ом	, 1/Ом	, Гн	, Ф
				0,2
			0,5	0,2
			0,5	0,5
			0,5	0,5
				0,5
			0,5	0,5
			0,4	0,2
	0,5		0,5	0,25
		0,5		0,25
				0,2
				0,5
			1,5	0,4
				0,5
				0,1
				0,2
				0,2
				0,3
				0,3
				0,2
				0,5
				0,1
				0,2
				0,1
				0,5

5. Задана математическая модель системы в виде передаточной функции, где u(t) – входная переменная, y(t) – выходная переменная:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Записать модель системы в виде дифференциального уравнения.

Получить математическую модель системы в виде формы Коши:

1) используя результаты примера 3 (формы Фробениуса и Крылова– Люенбергера);

2) при помощи функций tf и ss системы МАТЛАБ;

Сравнить результаты п.п. 1, 2 и прокомментировать их.

6. Задана математическая модель системы в виде уравнений состояний и выходов (форма Коши). Получить математическую модель системы в виде передаточной функции при помощи команд tf и ss системы МАТЛАБ:

а) , ;

б) ,

7. С помощью функций ss и tf системы МАТЛАБ определить передаточные функции для систем, модели которых в переменных состояния представлены следующими матрицами:

а)

б)

в) .

8. Рассмотрите две математические модели системы в форме Коши:

а)

и

б) .

1) С помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математическую модель системы в форме передаточной функции y(s) / u(s) для системы а).

2) С помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математическую модель системы в форме передаточной функции y(s) / u(s) для системы б).

3) Для передаточных функций систем, полученных в п.п. 1, 2 с помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математические модели систем в форме Коши.

4) Сравнить результаты п.п. 1, 2, 3 и прокомментировать их.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ

1. Дерусоо Г. Пространство состояний в теории управления /

Г. Дерусоо, Р. Рой, Ч. Клоуз. – М.: Наука, 1970.

2. Директор Р. Введение в теорию систем / Р. Директор, С. Рорер. – М.: Высшая школа, 1971.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера /

В.П. Сигорский. – Киев: Техника, 1977.

4. Подчукаев В.А. Теория автоматического управления /

В.А. Подчукаев. – М.: Физматлит, 2005.

5. Теория автоматического управления: в 2 ч. / под ред. А.А. Воронова. – М.: Высшая школа, 1986.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975.

2. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

3. Математические основы теории автоматического регулирования / под ред. В.К. Чемоданова. – М.: Высшая школа, 1977.

4. Теория автоматического управления: в 2 ч. / под ред.

А.В. Нетушила. – М.: Высшая школа, 1976, 1983.

5. Ту Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. – М.: Машиностроение, 1971.

 

МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ

ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ»

 

Составили:	ЕФИМОВ Роман Павлович ТИМОФЕЕВ Юрий Константинович ТОРГАШОВА Ольга Юрьевна
	Рецензент С.А. Моисеенко
	Редактор О.А. Луконина

 

Подписано в печать 20.12.06 Формат 60x84 1/16

Бум. тип. Усл. печ.л. 1,16 (1,25) Уч.-изд.л. 1,1

Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул. 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул. 77