Саратовский государственный технический университет
МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ
ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ»
для студентов специальности 210100 и направления 550200
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2006
ВВЕДЕНИЕ
В управляемых системах используют различные формы представления математических моделей непрерывных динамических систем как одномерных, так и многомерных. Это представление моделей в виде передаточных функций и матриц, в виде дифференциальных уравнений, в форме Коши. Рассматриваются способы перехода от одной формы представления модели к другой.
Практические занятия имеют своей целью систематизацию, закрепление, расширение теоретических знаний и получение практических навыков при решении конкретных технических задач: развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.
Задачи, рассматриваемые в методических указаниях, соответствуют рекомендациям программы изучения дисциплины, призваны способствовать лучшему усвоению теоретического материала, изучаемого в соответствующем разделе.
ФОРМЫПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Основные формы представления математических моделей одномерных систем: дифференциальное уравнение, передаточная функция, форма Коши.
Математическая модель в форме дифференциального уравнения имеет вид:
, (1)
где – -я и -я производные по времени от и соответственно.
Операторная (символическая) форма записи дифференциального уравнения:
,
где – оператор дифференцирования.
Математическая модель в форме передаточной функции:
, (2)
где – оператор Лапласа, – комплексная переменная.
Математическая модель в форме Коши:
(3)
где – -мерный вектор состояний; – выходная переменная; – входная переменная (управление); – матрицы чисел размерами соответственно; – число.
ФОРМЫПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Формы представления математических моделей многомерных систем: форма Коши, форма «вход-выход», передаточная матрица.
Модель многомерной системы в форме Коши имеет вид:
, (4)
, (5)
где – -мерный вектор состояний; – -мерный вектор выходных переменных; – -мерный вектор входных переменных (управлений); – матрицы размеров соответственно.
Векторно-матричное дифференциальное уравнение (4) называется уравнением состояний, а векторно-матричное алгебраическое уравнение (5) – уравнением выходов.
Математическая модель в виде передаточной матрицы.
Передаточная матрица связывает изображение Лапласа вектора выходных переменных с изображением Лапласа вектора входных переменных и имеет вид:
. (6)
Уравнение в форме «вход-выход»:
, (7)
где , – полиномиальные матрицы.
Пример 1. Для электрической схемы (рис.1) составить математическую модель: а) в виде дифференциального уравнения; б) в виде передаточной функции; в) в виде уравнений в форме Коши.
Рис.1
Замечание. В качестве входного (управляющего) воздействия принять , в качестве выходного – .
Решение.
а) Из закона Кирхгофа
и выражений
получаем математическую модель в виде дифференциального уравнения:
. (8)
Операторный вид уравнения (8)
.
б) Математическая модель в виде передаточной функции получается путем применения оператора Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (8) при нулевых начальных значениях функций и их производных:
где
в) Введем обозначения:
(9)
Продифференцируем (9) по времени:
(10)
Из первого уравнения (10) и выражения (8) следует, что .
Из второго уравнения (10) и первого уравнения (9) получаем:
.
Выразим из второго уравнения (9): , (11)
и подставим в выражения для и :
(12)
Уравнения (11), (12) в векторно-матричной форме имеют вид (3):
где , а матрицы A, B, C, D имеют вид:
.
Пример 2. Для электрической схемы (рис. 2): а) построить математическую модель в форме Коши; б) получить передаточную матрицу, связывающую изображения входных переменных ( – напряжения источников) и изображения выходных переменных ( – напряжения на сопротивлениях и ).
Рис. 2
Решение.
а) По закону Кирхгофа для узла 1 имеем:
или . (13)
Рассмотрим контуры I и II. По закону Кирхгофа для напряжений получаем:
, (14)
. (15)
Введем обозначения: .
Тогда выражения (13), (14), (15) можно записать в виде:
(16)
Уравнения для выходных переменных:
. (17)
Объединив уравнения (16), (17), получаем математическую модель электрической схемы в форме Коши (выражения (4), (5)):
где ,
, , , .
Подставив числовые значения параметров (рис. 2), получим:
.
б) Так как , то .
,
.
Тогда
.
Окончательно выражение для математической модели в виде передаточной матрицы будет иметь следующий вид:
.
Зная передаточную матрицу, можно записать дифференциальные уравнения, связывающие выходные и входные переменные. Из выражения для следует:
Переходя к оригиналам, получим:
или
Пример 3. Дана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения 3-го порядка:
. (18)
Получить математическую модель системы в форме Коши двумя способами (в формах Крылова – Люенбергера и Фробениуса).
Решение.
Способ 1. Введем переменные , , следующим образом:
(19)
Продифференцируем систему уравнений (19) по времени:
(20)
Сопоставляя первое уравнение (20) с выражением (18), второе уравнение (20) с первым уравнением (19), третье уравнение (20) со вторым уравнением (19), получим:
(21)
Из третьего уравнения (19) выразим: , (22)
и подставим в (21):
(23)
Введем в (22), (23) обозначения:
.
Совокупность уравнений (22), (23) и есть математическая модель системы в форме Коши (3) (форма Крылова–Люенбергера).
Способ 2. Запишем уравнение (18) в операторном виде:
. 24)
Выражение (24) можно переписать следующим образом:
, (25)
откуда , (26)
. (27)
Введем обозначения: . (28)
С учетом (28) соотношение (27) можно переписать в виде:
,
или . (29)
Так как , то из (29) следует, что
. (30)
Окончательно получим, объединив (26), (28), (30):
(31)
Вводя обозначения
,
получаем математическую модель системы в форме Коши (3) (форма Фробениуса).
Замечание. Приведенные алгоритмы перехода к форме Коши можно распространить на модели систем в виде дифференциальных уравнений произвольного порядка.
Пример 4. Задана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения без производных в правой части:
. (32)
Получить математическую модель системы в форме Коши.
Решение.
Введём переменные следующим образом:
. (33)
Из выражений (32), (33) следует:
(34)
С учетом (33) выражения (34) примут вид:
(35)
Добавив к (35) уравнение выхода , (36)
получим математическую модель в форме Коши, то есть в виде (3), где обозначено
.
Пример 5. Для электрической схемы (рис. 3):
а) составить математическую модель в форме Коши;
б) построить выражение для математической модели в виде передаточной матрицы, связывающей изображения входных переменных и выходных переменных ;
в) определить матрицу , элементами которой являются импульсные переходные характеристики для -го выхода относительно -го входа (при нулевых состояниях на всех остальных входах).
Рис. 3
Решение.
а) По аналогии с примером 2 уравнения электрической схемы можно получить в виде:
, .
Эти уравнения записаны в форме Коши (4), (5).
При Ф, Гн, [1/Ом], Ом соответствующие матрицы получают следующие численные значения:
.
б) Аналогично примеру 2 находим:
,
.
Тогда выражение для математической модели в виде передаточной матрицы принимает вид:
,
или .
Таким образом,
.
в) Так как изображение -й выходной переменной
,
то элементы матрицы можно рассматривать как скалярные передаточные функции от -го входа к -му выходу, причем
при .
Зная , можно получить импульсные переходные характеристики . Переходя в выражении к оригиналам, получим:
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ
1. Задана математическая модель системы в виде дифференциального уравнения (табл. 1). Требуется:
а) записать математическую модель системы в форме Коши двумя способами (в формах Фробениуса и Крылова–Люенбергера);
б) записать математическую модель системы в виде передаточной функции;
в) с помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ получить модель в переменных состояния (форма Коши).
Таблица 1
Номер варианта | Дифференциальное уравнение |
2. Выполнить задания примера 2 для числовых данных, заданных в табл. 2.
Таблица 2
Номер варианта | Значения параметров | ||||
, Ом | , Ом | , Гн | , Гн | , Ф | |
0,2 | |||||
0,5 | 0,5 | 0,2 | |||
0,5 | 0,5 | 0,5 | |||
0,5 | 0,5 | ||||
0,5 | 0,5 | ||||
0,5 | 0,4 | 0,5 | |||
0,4 | 0,5 | 0,2 | |||
0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,25 | ||
0,5 | 0,5 | 0,25 | |||
0,2 | |||||
0,5 | |||||
1,5 | |||||
1,5 | 0,4 | ||||
0,5 | |||||
0,1 | |||||
0,02 | |||||
0,02 | |||||
0,04 | |||||
0,04 | |||||
0,05 | |||||
0,05 | |||||
0,1 | |||||
0,1 | |||||
0,2 | |||||
0,5 |
3. Для числовых данных примера 2 (табл. 2) с помощью функций ss и tf системы МАТЛАБ получить модель в виде передаточной функции.
4. Выполнить задания примера 5 для числовых данных, заданных в табл. 3.
. Таблица 3
Номер варианта | Значения параметров | |||
, Ом | , 1/Ом | , Гн | , Ф | |
0,2 | ||||
0,5 | 0,2 | |||
0,5 | 0,5 | |||
0,5 | 0,5 | |||
0,5 | ||||
0,5 | 0,5 | |||
0,4 | 0,2 | |||
0,5 | 0,5 | 0,25 | ||
0,5 | 0,25 | |||
0,2 | ||||
0,5 | ||||
1,5 | 0,4 | |||
0,5 | ||||
0,1 | ||||
0,2 | ||||
0,2 | ||||
0,3 | ||||
0,3 | ||||
0,2 | ||||
0,5 | ||||
0,1 | ||||
0,2 | ||||
0,1 | ||||
0,5 |
5. Задана математическая модель системы в виде передаточной функции, где u(t) – входная переменная, y(t) – выходная переменная:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Записать модель системы в виде дифференциального уравнения.
Получить математическую модель системы в виде формы Коши:
1) используя результаты примера 3 (формы Фробениуса и Крылова– Люенбергера);
2) при помощи функций tf и ss системы МАТЛАБ;
Сравнить результаты п.п. 1, 2 и прокомментировать их.
6. Задана математическая модель системы в виде уравнений состояний и выходов (форма Коши). Получить математическую модель системы в виде передаточной функции при помощи команд tf и ss системы МАТЛАБ:
а) , ;
б) ,
7. С помощью функций ss и tf системы МАТЛАБ определить передаточные функции для систем, модели которых в переменных состояния представлены следующими матрицами:
а)
б)
в) .
8. Рассмотрите две математические модели системы в форме Коши:
а)
и
б) .
1) С помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математическую модель системы в форме передаточной функции y(s) / u(s) для системы а).
2) С помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математическую модель системы в форме передаточной функции y(s) / u(s) для системы б).
3) Для передаточных функций систем, полученных в п.п. 1, 2 с помощью функций tf и ss системы МАТЛАБ определить математические модели систем в форме Коши.
4) Сравнить результаты п.п. 1, 2, 3 и прокомментировать их.
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ
1. Дерусоо Г. Пространство состояний в теории управления /
Г. Дерусоо, Р. Рой, Ч. Клоуз. – М.: Наука, 1970.
2. Директор Р. Введение в теорию систем / Р. Директор, С. Рорер. – М.: Высшая школа, 1971.
3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера /
В.П. Сигорский. – Киев: Техника, 1977.
4. Подчукаев В.А. Теория автоматического управления /
В.А. Подчукаев. – М.: Физматлит, 2005.
5. Теория автоматического управления: в 2 ч. / под ред. А.А. Воронова. – М.: Высшая школа, 1986.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М.: Наука, 1975.
2. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
3. Математические основы теории автоматического регулирования / под ред. В.К. Чемоданова. – М.: Высшая школа, 1977.
4. Теория автоматического управления: в 2 ч. / под ред.
А.В. Нетушила. – М.: Высшая школа, 1976, 1983.
5. Ту Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. – М.: Машиностроение, 1971.
МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ
ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Основы аналитической теории анализа и синтеза САУ»
Составили: | ЕФИМОВ Роман Павлович ТИМОФЕЕВ Юрий Константинович ТОРГАШОВА Ольга Юрьевна |
Рецензент С.А. Моисеенко | |
Редактор О.А. Луконина |
Подписано в печать 20.12.06 Формат 60x84 1/16
Бум. тип. Усл. печ.л. 1,16 (1,25) Уч.-изд.л. 1,1
Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул. 77
Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул. 77