ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ
Теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций
дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений, нашедший многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике и политике. Фундаментальные результаты учёных математиков и философов в теории катастроф получены во второй половине двадцатого века.
Считая наш мир устойчивым и неспособным внезапно измениться, создававшая классическое естествознание наука ХVIII века описывала все зависимости математическим языком дифференциального и интегрального исчислений непрерывными функциями с небольшими изменениями значения функций при малых приращениях аргументов, а все математические модели, не отвечающие этим условиям, считались лишёнными реального содержания. «Классические» математики, научившись описывать гармоничные уравновешенные законы природы языком цифр, не хотели рассматривать неустойчивые математические модели, резко нарушавшие равновесие.
Однако, в реальной жизни гармоничные взаимодействия сопровождаются состояниями неустойчивости, и любая развивающаяся система претерпевает периоды резких изменений, перегруппировки сил в новое равновесие с временным преобладанием одной из них. Такое переустройство разрушает предыдущие структуры, переводя их в состояние хаоса, из которого далее восстанавливается качественно новое равновесие, гармонизирующее новое состояние. Так, одним небольшим камнем может вызываться горный обвал, снежная лавина, грязевой горный поток, несущие огромную разрушительную силу. Один шарик, разбивая бильярдную пирамиду, начинает игру. Револьверный выстрел запустил Первую мировую войну, «цветные революции» начинаются небольшой группой подготовленных боевиков.
Недостатком марксистско-ленинской теории является основанная на представлениях девятнадцатого века слепая убеждённость в детерминированности развития общества, в его неспособности к неожиданным резким изменениям, к смене устойчивости состояния при небольших внешних воздействиях. Но устойчивость состояний надо прогнозировать и быть к ним готовыми. Эта вера в абсолютную предопределённость развития породила догматизм теории марксизма, и в критический момент истории сбросила СССР в новое устойчивое, а затем и в хаотическое состояние, из которого необходимо возвращаться через введение новых условий, переводящих российское общество из хаоса в новое устойчивое состояние развития. Этими новыми условиями может быть, например, созревающая в общественном сознании готовность российского общества к строительству коммуны. Да, стратегически законы детерминированного развития продолжают работать на коммунизм, но, как и предупреждал И. В. Сталин, капитализм не смирится с поражением и будет снова и снова искать возможности своей реставрации. Подготовленная мировым сионизмом «цветная революция» совершила руками корыстолюбивых оборотней в погонах и без государственный переворот, к которому советское общество оказалось не готово, хотя всю совокупность внешних и внутренних предпосылок к этому можно и нужно было предвидеть.
Теория катастроф – новое фундаментальное дополнение к марксизму.
Лишь со второй половины прошлого века в представлениях об окружающем нас мире вдруг обнаружилось множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях. Скачкообразные мгновенные резкие качественные изменения системы при малых плавных количественных изменениях (флуктуациях, колебаниях, возмущениях…) внешней среды и её внутренних параметров в виде ответа на них, от которых эта система зависит, называются катастрофами. При этом, внешние воздействия оказывают значительное влияние на систему, а внутренние – гасятся сами в себе, если нет сильных внешних воздействий. Любые изменения ландшафтов или среды обитания, вымирание организмов происходили под влиянием разномасштабных катастроф, происходивших на Земле.
Не требуя подробных математических моделей, эта теория может описывать не количественные, а качественные ситуации, иллюстрируя их простыми геометрическими образами. Она позволяет производить наглядный анализ некоторых сложных естественных явлений, устойчивости сложных систем, колебаний и разрушений в строительной механике, поведение в этологии и даже бунты в тюрьмах.
Если каждому значению параметров соответствует только одна точка поверхности, лист бумаги не имеет складок. Если складки имеются, то возможны два варианта: «складка» и «сборка», когда на поверхности параметров в одной точке встречаются две складки. «Катастрофа» -- это резкое, скачкообразное изменение значения параметра Х при изменении параметра а.
Теория катастроф рассматривает критические точки (репетиции) функции, где не только первая производная функции равна нулю, но и производные более высокого порядка равны нулю. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то существует семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций (качественных изменений поведения динамической системы при бесконечно малом изменении её параметров) как стандартные формы разложений в ряды Тейлора. Эти семь фундаментальных типов катастроф названы Рене Томом.
1. Потенциальные функции с одной активной переменной
1.1. Катастрофа типа «складка» V=x3+ах
На гладкой поверхности, т. е. на не имеющем разрывов листеобразуется «складка». При встрече в одной точке двух складок, на гладкой поверхности возникает «сборка».
Если параметр а отрицательный, потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр а изменяется медленно, система находится в стабильном минимуме. Но при a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы аннигилируют в точке бифуркации. При a положительном стабильного решения нет. При прохождении физической системы через точку бифуркации типа «свёртка» параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое отличное от предыдущего состояние. Такое значение параметра а называется бифуркационным или «точкой фиксации».
V = x 3 + a x {\displaystyle V=x^{3}+ax} 1.2.
Катастрофа типа «сборка» V=x4+ax2+bx
| Коричневые и красные кривые Х диаграммы катастрофы «сборка» с точкой возврата для а, b показаны при непрерывно изменяющемся параметре для различных а. |
Вне точек возврата (синяя область) для a, b в фазовом пространстве (каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы) существует только одно экстремальное значение x. Внутри точек возврата существует два значения x, дающие локальные минимумы функции V(x) для каждой пары a, b, разделённых локальным максимумом.
Для уравнения dV/dx=0 и параметров (a.b), где параметр b изменяется непрерывно, а параметр a имеет несколько разных значений, показана диаграмма катастрофы сборки коричневыми и красными кривыми для x. За пределами сборки (синяя кривая) в пространстве параметров точки (a,b) V = x 4 + a x 2 + b x {\displaystyle V=x^{4}+ax^{2}+bx} имеют только одно решение Х. Внутри сборки для каждой точки (a,b) – два значения Х в локальных минимумах V(x),разделённых максимумом. Вблизи точки катастрофы видна бифуркация, разделяющая области с одним и двумя устойчивыми решениями.
|