Катастрофы второго порядка связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том рассматривал гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ― как процесс создания похожих на волосяной покров структур.
Гиперболическую и эллиптическую амбилику здесь не рассматриваем.
Классификация катастроф по Арнольду
- A 0 — несингулярная точка: V = x {\displaystyle V=x}.
- A 1 — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум V = ± x 2 + a x {\displaystyle V=\pm x^{2}+ax}.
- A 2 — складка
- A 3 — сборка
- A 4 — ласточкин хвост
- A 5 — бабочка
- A k — бесконечная последовательность форм от одной переменной V = x k + 1 + ⋯ {\displaystyle V=x^{k+1}+\cdots }
- D 4+ — кошелёк = гиперболическая омбилика
- D 4- — пирамида = эллиптическая омбилика
- D 5 — параболическая омбилика
- D k — бесконечная последовательность других омбилик
- E 6 — символическая омбилика V = x 3 + y 4 + a x y 2 + b x y + c x + d y {\displaystyle V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy}
- E 7
- E 8
Современные теории динамических систем, включая теорию катастроф, меняют
существовавшие до середины 20-го столетия представления об устойчивости и инерционности развития мира, о возможности внезапного нарушения гармонии и равновесия во взаимодействии противоположностей очень малым внешним воздействием на их систему при определённых условиях. Но даже знание неизбежности катастрофы в конкретных условиях может помочь найти новые условия предотвращения их или служить признаком нового этапа «светлого будущего». Приезд Ленина в октябре 1917- го года в Петроград, когда Россия находилась в критически неустойчивом состоянии, провозглашение им Советской власти и арест Временного правительства открыли новую эру развития человечества. Умение определять, как далеко от точки катастроф находится система, может позволить очень незначительным воздействием на неё повлиять на её движение, определив так называемые «флаги катастроф» -- поведение системы в определённых критических точках, таких как:
-- несколько устойчивых состояний;
-- наличие неустойчивых состояний, позволяющих вывести из них систему малыми
«толчками»;
-- возможность скачка изменений при малых внешних воздействиях;
-- невозможность вернуться в прежнее состояние.
Таким образом, катастрофа не является фатально неизбежной предопределённостью, может целенаправленно корректироваться, а в определённых случаях – быть желаемой. Так, СССР в критически неустойчивом состоянии разрушился в хаос, а Китай – расцвёл. Механизм действия сил природы описывается как взаимодействие детерминизма и свободы выбора. Если в 19-м веке предопределённость развития рассматривалась как объективность научных знаний, определявших вполне предсказуемую эволюцию системы, то в 20-м веке человек стал больше понимать эту двойственность механизмов взаимодействия противоположностей, скачки системы от случайных малых внешних сил, свою способность влиять на природные процессы, управлять ими даже в ситуациях катастроф. Ведь совершенно очевидно, что невозможно точно запрограммировать все радости и напасти, все наши поступки, войны и неожиданные взлёты и падения народов, стран, городов, цивилизаций. В самой природе, её структурах хаоса, распределения частичек вселенной заложена возможность образования бесчисленного количества форм. Вселенная голографична и фрактальна. Сколь угодно малая ошибка в детерминированном движении ведёт к скачкообразным изменениям его траектории, и это не позволяет точно предсказывать на длительный срок поведение сложной системы.
К концу ХХ века возникает новая наука – синергетика – об общих принципах эволюции и механизмах их осуществления, о дуализме и всё тех же несовместимых противоположностях, соединение которых порождает равновесное противоречие – причину любого развития. Любая сложная система при взаимодействии с окружающей средой развивается по определённым этапам, когда из её хаотичных частей с огромной скоростью образуется множество элементарных форм, часть из которых под воздействием противоположных разрушительных сил исчезают, а часть – приобретают устойчивость, побеждают и снова приводят к хаосу, кризису и рождению нового этапа развития. Так, формировавшаяся в борьбе двух форм собственности советская система под воздействием пережитков частной собственности пала в хаос постсоветского капитализма, безидейности, стихийности, отказа от какой бы то ни было идеологии и цели развития, нарушив гармонию советского этапа, погрузившись в животворящую среду, из которой пробиваются ростки новой, ещё слабо заявляющей о себе жизни – коммуны. В сложных системах хаос – неизбежный промежуточный этап, рождающий новую структуру, которая тоже проходит путь упорядочивания её, строя из элементарных частиц. Развитие есть бесконечное повторение порядка и хаоса, жизни и смерти.
Этап кризиса неустойчивого состояния системы, когда сколь угодно малое движение в сторону от траектории меняет сценарий её развития, может стать почти полным повторением пройденного пути, а может почти без усилий перейти на принципиально иную траекторию. Есть и иной сценарий, когда под действием внешних сил среда меняется таким образом, что порождающая хаос неустойчивость вовсе исчезает, и траектории выкладываются почти параллельно, и тогда сценарий развития приобретает спокойный безскачковый характер, и любое перемещение на соседнюю траекторию существенно не меняет его. Можно видеть такой сценарий в уже сложившихся устоявшихся формациях (средний возраст капитализма, этап роста коммунных комплексов в коммунизме). Хаос рано или поздно проходит, и в этот период надо успокоиться, чтобы не вызвать новый обвал, и выждать удобный момент конца кризиса, уловить подходящую тенденцию, чтобы спокойно выйти на нужную траекторию. Именно такой период формирования нового порядка из хаоса проходит сегодня человечество. Заканчивает свой путь Человек разумный как вид, строится новое глобальное человечество, космическая земная цивилизация. Глобально меняется и взгляд на детерминированность пути его. Президент Международной ассоциации математических исследований сэр Джон Лайтхил принёс извинение за 300 лет заблуждений математиков в концепции абсолютного детерминизма. Лауреат Нобелевской премии Илья Пригожин говорит: «В замкнутом мире классической рациональности поиск знания легко мог приводить к интеллектуальному снобизму и высокомерию. В открытом мире, который мы сейчас учимся описывать, теоретическое знание и практическая мудрость нуждаются друг в друге".
Теория катастроф проясняет суть процессов реального мира, и катастрофа и хаос - не крушение мира, а резкая перестройка системы, качественный скачок её состояния. И в такой ситуации важно найти нужный путь, определив "флаги катастроф", поджидая подходящий момент для нового прыжка.