Угол между двумя векторами

Векторы в пространстве

Определение 1:

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.

Рисунок 1

На рисунке 1 изображены ненулевые векторы и и нулевой вектор Нулевой вектор иногда обозначается символом

Определение 2:

Длиной (модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка AB. Она обозначается как Длина нулевого вектора равна нулю:

Определение 3:

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Определение 4:

Если два ненулевых вектора и коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены, то векторы и называются сонаправленными.

Этот факт обозначается так: Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противонаправленными. Этот факт обозначается так:

Рисунок 2

Из рисунка 2 следует:

Определение 5:

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

На рисунке 2 так как и а так как

Нетрудно доказать следующее:

Теорема 1:

От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Определение 6:

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены (рис. 3).

Рисунок 3. и – противоположные векторы.

Определение 7:

Суммой двух векторов и называется новый вектор который обозначается и получается следующим образом.

Рисунок 4

Отложим от произвольной точки A вектор , равный Теперь от точки B отложим вектор равный Вектор и называется суммой векторов и Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии (рис. 5).

Рисунок 5

Для любых векторов и справедливы равенства:

• (переместительный закон);
• (сочетательный закон).

Определение 8:

Разностью векторов и называется такой вектор сумма которого с вектором равна вектору Обозначается разность векторов так: где – вектор, противоположный вектору (рис. 6).

Рисунок 6

Теорема 2:

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов.

Определение 9:

Произведением ненулевого вектора на число k называется вектор длина которого равна причем при k > 0 векторы и сонаправлены, а при k < 0 – противонаправлены. Произведением любого числа на нулевой вектор является по определению нулевой вектор.

Из этого определения следует, что векторы и коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Для любых векторов и любых чисел k и l справедливы равенства:

• (сочетательный закон);
• (первый распределительный закон);
• (второй распределительный закон).

Теорема 3 ( Признак коллинеарности векторов ):

Для коллинеарности вектора ненулевому вектору необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что

Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии.

Следствие 1:

Для того, чтобы точка C лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что

Следствие 2:

Для параллельности прямых AM и BN необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Три произвольных вектора могут быть компланарными (лежать в одной плоскости) или некомпланарными (не лежать в одной плоскости).

Признак компланарности трех векторов

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде , где х и у — некоторые числа, то векторы , и компланарны.
Правило параллелепипеда Сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенному на этих векторах.

Угол между двумя векторами

Углом между двумя направлениями в пространстве называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.
Угол между лучами обозначается . По определению угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°].

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.

Перпендикулярные векторы (или ортогональные)	Коллинеарные векторы
Сонаправленные	Противоположно направленные
90°	0°	180°

Задание 2

Выберите один из вариантов ответа “да” или “нет” на следующие вопросы:

1. Можно ли считать, что нулевой вектор может быть коллинеарен любому вектору? 2. Два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправленны?

3. Верно ли, что векторы и противоположно-направленные?

4. Два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?

5. Справедливо ли утверждение: Любые два сонаправленных вектора равны?

6. Согласны ли вы, что любые два противоположно-направленных вектора коллинеарны?

7. Верно ли, что любые два равных ненулевых вектора коллинеарны?