ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ




 

Пусть события А1 , А2 , …, Аn независимы в совокупности, причем вероятности Р (А1)=р1 , Р (А2)=р2 , … , Р (Аn)=рn ; пусть в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них.

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий

А1 , А2 , …, Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1 , А2 , …, Аn:

Р(А)=1 - q1 q2 … qn .

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Р(А)=1 – qn ( * ).

 

 

Задача 9. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз при трех выстрелах.

 

Решение. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р = 0,6, а q = 1-0,6= 0,4.

Выстрела было произведено 3, т.е n = 3 .

Искомая вероятность равна:

Р (А) = 1 – q3 = 1 – (0,4)3 = 1 – 0,064 = 0,936.

Ответ: Вероятность того, что мишень поражена хотя бы один раз при трех выстрелах равна 0,936.

 

Задача 10. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

 

Решение. Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из четырех выстрелов (событие А) равна

Р (А) = 1 – q4,

где q – вероятность промаха.

По условию Р (А) = 0,9984.

Следовательно, 0,9984 = 1 - q4 , или q4 = 1 – 0,9984 = 0,016.

Отсюда q = 4√0,0016 = 0,2.

Искомая вероятность

р = 1 – q = 1 – 0,2 = 0,8.

Ответ: Вероятность попадания в мишень при одном выстреле

равна 0,8.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1 , Н2 , …, Нn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А :

Р (А) =Р (Н1 ) ∙ Р (А /Н1 ) + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) + … + Р(Нn) ∙ Р (А /Нn ) (* ),

где Р (Н1 ) + Р (Н2 ) + … + Р(Нn ) = 1.

Равенство (**) называют формулой полной вероятности.

 

Задача 11. В каждой из двух урн содержится по 5 черных и 3 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны окажется черным.

Решение. Урна1 Урна2

       
 
8 шаров
 
9 шаров


Переложим 1 шар


Проанализируем условие задачи, если из урны 1 переложим белый или черный шар в урну 2 (см. схему).

Запишем условие задачи в схеме.

Урна №1

5(Б) 3(Ч)  
8 шаров

1 шар
       
   

 

 


Урна №2 Урна №2

       
   

 

 


Обозначим через А событие – извлеченный из второй урны шар окажется черным. Возможны следующие предположения (гипотезы):

Н1 – из I урны вынут белый шар, Р (Н1) = 5/8;

Н2 -из I урны вынут черный шар, Р (Н2 ) = 3/8 (P (Н1 )+ (Н2)=1).

Условная вероятность того, что извлеченный из II урны шар черный при условии, что белый шар из I урны переложен во вторую, Р (А/Н1) = 3/ 9.

Условная вероятность того, что извлеченный из II урны шар белый при условии, что черный шар из I урны переложен во вторую,

Р (А/Н1) = 4/ 9.

Искомая вероятность того, что извлеченный из второй урны, шар окажется черным по формуле полной вероятности:

Р (А) =Р (Н1 ) ∙ Р (А /Н1 ) + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) = 5/8· 3/ 9 + 3/8· 4/9= =27/ 72= 3/8

Ответ: Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны окажется черным равна 3/8.

 

ФОРМУЛА БЕЙЕСА

 

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, … Нn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:

 

Р (Нi /А) = Р (Н1) · Р (А/Н1) ( i=1,2,…, n),

Р (А)

где Р (А) – формула полной вероятности.

 

Задача 12.Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,2; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,3. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.

 

Решение. Обозначим через А событие – обнаружена ошибка в перфокарте. Можно сделать два предположения (гипотезы).

Н1 – набивала перфокарты перфораторщица №1

Н2 – набивала перфокарты перфораторщица №2. Поскольку имеется две гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице

Р(Н1) = Р(Н2) = ½, то ( Р(Н1) + Р(Н2) = 1 )

Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустила ошибку :

Р (А/Н1) =0,2 , а вторая – Р (А/Н2) = 0,3.

Вероятность, что при сверке перфокарт была допущена ошибка, находим по формуле полной вероятности:

Р (А) =Р (Н1) ∙ Р (А /Н1 + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) = 1/2· 0,2+ 1/2 · 0,3 = 0,25.

Искомая вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица, по формуле Бейеса равна:

Р (Н2 /А) = Р (Н2) · Р (А/Н2) = 0,15= 3 .

Р (А) 0,25 5

Ответ: Вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщика равна 3/5.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

7.1. Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом из них не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

7.2 Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

Рn (k) = C kn pk qn - k,

или

,

где q = 1 – p.

7.3 Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, находят соответственно по формулам:

а) Рn (0) + Рn (1) + … + Рn (k - 1);

б) Рn (k + 1) + Рn (k + 2) + … + Рn (n);

в) Рn (k) + Рn (k + 1) + … + Рn (n);

г) Рn (0) + Рn (1) + … + Рn (k).

Задача 13. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет:

а) ровно два раза;

б) менее двух раз;

в) не менее двух раз.

 

Решение. Вероятность того, что выпадет “герб” р = 0.5, не “герб” 0,5( q = 1 – 0,5 = 0.5). Монету бросают пять раз, значит, n = 5.

Применим формулу Бернулли:

а) найдем вероятность того, что «герб» выпадает два раза при пяти бросаниях монеты:

;

б) найдем вероятность того, что «герб» выпадает менее двух раз при пяти бросаниях монеты:

P5(k<2) = P5(0) + P5(1) = ;

в) найдем вероятность того, что «герб» выпадает не менее двух раз. События «герб» выпадает менее двух раз и «герб» выпадает не менее двух раз противоположны:

Р5 (k ≥ 2) = 1 - P5 (k <2) = 1 – 3/16 = 13/16.

Ответ: Вероятность, что герб выпадает ровно два раза - 5/16, менее двух раз - 3/16, не менее двух раз - 13/16.

 

Задача 14. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах.

 

Решение. По формуле появления хотя бы одного события имеем:

Р = 1 – q2 = 0.84, q2 = 0,16, q = 0,4, р = 1 – q = 0,6.

Искомая вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах по формуле Бернулли равна:

.

Ответ: Вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах

равна 162

625 .

 

...





Читайте также:
История русского литературного языка: Русский литературный язык прошел сложный путь развития...
Основные понятия ботаника 5-6 класс: Экологические факторы делятся на 3 группы...
Эталон единицы силы электрического тока: Эталон – это средство измерения, обеспечивающее воспроизведение и хранение...
Своеобразие родной литературы: Толстой Л.Н. «Два товарища». Приёмы создания характеров и ситуаций...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.019 с.