Открытое и замкнутое мн-во.

Сходимость НП.

Пусть Х-НП. Посл-ть н-ся сход-ся к , если т.е.

Утверждение. Если , то 1) Предел единственен 2) Всякая подпосл-ть посл-ти сх-ся к 3) норма (из обратного нер-ва треуг-ка).

Утв.1. Из сх-ти в пр-ве вытекает покоордин-я сх-ть. Обратное неверно. Д-во: Пусть это значит , . Обратное неверно. Возьмем . Покоординатно стрем-ся к 0. Пусть р=1 ,

Утв.2. Сх-ть в пр-ве m эквив-на покоордин-й сх-ти равномерной, относит-но номера координаты. Д-во: (!) (*) равном-но по k. Из (*) => (!) ЧТД.

Утв.3. Сх-ть в пр-ве эквив-на равном. сх-ти. Д-во: т.е. (1) (2) (3). Обратное: Из (3) => (2) и значит (1). ЧТД.

4.Ф.п. Полные пр-ва. Неполные.

Х-НП. ПОсл-ть н-ся фундам-й (фп), если Всякая ф.п. ограничена. Всякая сх-ся посл-ть явл-ся ф.п.

НП н-ся полным, если в нем любая ф.п. посл-ть сх-ся. Полное НП н-ся банаховым.

Правило. Д-во полноты состоит из 3х этапов: 1) берется произв-я ф.п. и строится элемент x₀ – подозрит-й на предельный. 2) Провер-ся, что 3) Показывается, что

Теорема. Пр-во полно. Д-во: 1. - произв. ф.п. , т.е. выполнен Кр. Коши равном. сх-ти посл-ти , т.е. . 2. - непрер. ф-я, как равномер. предел посл-ти непрер. ф-ций . 3. Т.к. сх-ть в эквив-на равном-й сх-ти, то ЧТД.

Теорема. Пр-во полно. Д-во: . Пусть - произв. ф.п. в . (1) . Для кажд. координаты выполняется Кр.Коши . Построим . Покажем, что (2) при (3). Имеем , т.е. . Из (3) => в силу произвольности М , т.е. . ЧТД.

Теорема. Пр-во полно. Д-во: Пусть - произв. ф.п. в . (1) . Для кажд. координаты выполняется Кр.Коши . Построим . Покажем, что (2) при (3). Имеем, т.е. . Из (3) => в силу произвольности М , т.е. . ЧТД,

Теорема. Пр-во m полно. Д-во: Пусть - произв. ф.п. - подпосл-ть , - ф.п. (4) по Кр. Коши сход. числ. посл. для кажд. координаты . Рассм. , Перейдем в (4) к пределу . (5) , а из (5) => . ЧТД,

: . Оно неполно.

Теорема. не полно. Д-во: [a,b]->[-1,1] и рассм. посл-ть Покажем, что - ф.п. в . Заметим, что для некот. . Пусть m<n => - послед. фундам. сх-ся к ф-ции . Имеем сх-ся в интегральном смысле. Покажем, что несходится ни к какой ф-ции в . ПП Сущ-т непрерыв. , что , тогда имеем . Т.к. n отсутствует => , -разрывн. -непрер. . , - противоречие того, что явл-ся непрер-й не сх-ся в . ЧТД.

Теорема. Пр-во неполно. Д-во: [a,b]->[-1,1] и рассм. посл-ть Покажем, что - ф.п. в ., т.е.

Пусть m<n => - послед. фундам. сх-ся к ф-ции . Имеем сх-ся в интегральном смысле., . Покажем, что несходится ни к какой ф-ции в . ПП Сущ-т непрерыв. , что , тогда имеем . Т.к. n отсутствует => , -разрывн. -непрер. . , - противоречие того, что явл-ся непрер-й не сх-ся в . ЧТД,

5. Мера открыт. мн-ва. Измер-е мн-ва, ф-ции. Интеграл Лебега. Пр-ва Лебега.

Пр-во с нормой не полно.

Пр-вом Лебега н-ся пополнение пр-ва , т.е. . Т.к. к непрер. ф-циям добавл-ся эл-ты новой природы, кот. н-ся суммируемые (интегрир. по Лебегу) с р-й степенью ф-ции.

Мера Лебега на вещественной прямой. Пусть - открыто. конеч. или счетное число попарно-непересекающихся интервалов.

Мерой открыт. мн-ва назыв. сумма длин интер-в, составляющ. это мн-во. Т.е. сх-ся и т.к. посл-ть частич. суммы возраст. и (Мера-длина). Если . Е-произ. мн-во => - открыт:

Внешней мерой н-ся . Внутренней мерой н-ся (1) . В (1) заменим Е на СЕ, получ. (2) Мн-во Е н-ся измеримым, если внут. и внеш. меры совпадают:

Утв. Если мн-во Е измеримо, то измер. и его доп-е. Д-во: Пусть => (1) , Из (2) => . СЕ-измер. ЧТД.

Утв. Замкнутое мн-во измер-о по Лебегу (как доп-е к закрыт. мн-ву, оно измер-о)

Св-ва мер Лебега: 1. 2. 3. 4. конечн. или счетного числа измер. мн-в измеримо 5. Замечание. Из (2) => если , то Е измер.

Конечное или счетное мн-во на прямой имеет меру 0.

Утв. Мн-во Кантора имеет меру 0.

Мн-во Кантора строится след образом: отр-к [0,1] делится на 3 равные части. 1) Средний замкнутый интервал длиной 1/3 выбрасывается. 2) С кажд. из оставшихся 2х отрезков поступают аналогично, т.е. делится на 3 части и середина убирается. 2 интервала длиной . 3) аналогично, 2² интервала длин . Все, что осталось после процесса н-ся мн-вом Кантора. Посчитаем суммы длин выброшенных интервалов:

СЕ - дополнение . СЕ- открытое => измеримо => мера его = сумме => Е измеримо,

Можно показ., что мн-во Кантора имеет мощность континиума, т.е. мужду точками Катнторового мн-ва и точками отрезка [0,1] можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Измеримые ф-ции. G – открытое => . Мерой (длиной) открытого мн-ва назыв. . Ф-ция н-ся измеримой, если измеримо мн-во , где назыв. мн-во точек =

Лемма. Ф-ция Х измерима т.и.т.т.,к. измеримо одно из 3х мн-в Д-во: Пусть измеримо . Покажем, что (*) => измер, как перес-е измер. Пусть Обратно: пусть . Обратно: Пусть измеримо , покажем, что измеримо . (1) измер. как объед. измер. мн-в. Остальное аналогично. ЧТД.

Св-ва измер-х мн-в: Пусть Е-измеримо 1. Если x(t) измер., то kx(t), x(t)+l измеримо. Кажд. из мн-в измеримо. - измер. 2. Сумма 2х измер-х мн-в измер. 3. Произвед-е 2х измер-х мн-в измер. 4. Если измер., то 5. Если x(t), y(t) измер. и , то измер.

Теорема. Непрер-ая на замкнут. огранич. мн-ве ф-ция измер-а на нем. Д-во: Пусть x(t) непрер. не Е-замкнут. огран. мн-ве. Покажем, что мн-во измеримо. Покажем, что замкнутое (т.е. содерж. все свои пред-е т-и). Пусть - произв. пред-я т. мн-ва . Т.е. . Это значит, что . Перходим к пределу , получим мн-во замкнуто => измер. ЧТД.

Измеримы м.б. и разрыв. ф-ции.

Интеграл Лебега. Пусть Е-измер. огран. мн-во на (a,b). x(t) измер. огр. ф-ция. Т.е. . Разобьем отрезок [m,M] на n частей . Обознач. через . Кажд. e_i измеримо (как пересеч. 2х измер.). Составим верх. и нижн. суммы Лебега: . Если сущ-т предел s и S при , не завис-й от способа разбиения отрезка [m,M], то этот предел н-ся интегралом Лебега (2)

Теорема. Всякая огран. измер. ф-ция интегрир-ма по Лебегу (суммируема). Справ-вы все обычные св-ва интеграла.

Дополнит-е св-ва: 1. Если x(t) интегр. по Риману, то она инт-ма и по Лебегу и интегралы совпадают: 2. Если и мн-во не пересек. и измеримы наи кажд. , то x(t) суммируема на Е, то 3. Если . Говорят, что какое-то св-во выполнено почти всюду (п.в.), если оно выполнено всюду, кроме м.б. точек мн-ва меры Лебега. Ф-ия х н-ся эквивалентной ф-ции у , если 4. Если и y(t) интегр. по Лебегу, то и x(t) инт. по Лебегу и

Критерий интегрируемости по Риману. Огранич-я ф-ция интегр-ма по Риману т.и.т.т.,к. мн-во точек её разрывов имеет меру 0 (без док-ва)

Пр-во Лебега.

Пр-во Лебега наз. пр-во элементы кот. служат классы эквив-х мужду собой суммируемых ф-ций . Эквив-е мужду собой ф-ции не различ-ся. Если , то x(t)=y(t), . , т.е. ф-ция , если сущ-т послед. непрер. ф-ций {x_n(t)} фундам. в среднем, т.е. , и такая, что . Добавляемые ф-ции явл-ся измер. и суммир-ми. Эквив-е ф-ции не различ-ся. Фактически элем-ми пр-ва явл-ся классы эквив-х ф-ций. Каждый класс однозначно опред-ся любым своим представителем.

Пр-во Лебега , , если сущ-т ф.п. непрер. ф-ций {x_n(t)} в среднем квадратном,т.е. и такая,что Элементами пр-ва явл-ся классы эквив-х ф-ций, суммир-х с квадратом, т.е. .

6. Огран-е, открыт-е, замкн. мн-ва. Эквив. нормы.

Открытое и замкнутое мн-во.

Пусть Х-НП. Открытым шаром н-ся мн-во . Замкнутым шаром н-ся мн-во . Сферой н-ся мн-во . Окрестностью в т. н-ся любой открытый шар с центром в т. . Мн-во н-ся огранич-м, если сущ-т шар конеч. радиуса, целиком сод-й мн-во М: . Мн-во М н-ся открытым,если любая т. входит в него вместе с некоторой окрестностью, т.е.

Утв. Объединение любого числа и пересеч-е конеч. чила открыт. мн-в есть мн-во открытое.

Т. н-ся пред-й т-й мн-ва М, если . Мн-во М н-ся замкнутым, если оно содержит все свои пред-е точки. М’ – мн-во всех пред. точек мн-ва М. Замыкание мн-ва М .

Утв. Объедин-е конечн. числа и пересеч-е любого числа замкн-х мн-в явл-ся замкнут-м мн-вом.

(пустое мн-во, само пр-во) открытые и замкныт-е по опред-ю.

Утв. Сфера S(a,r) – явл-ся замкн. мн-вом. Д-во: Пусть x₀ – произв. пред-я т. мн-ва S(a,r). , , , , , , , . ЧТД,

Эквивалентные нормы. Пусть Х-ЛП и в нем задана , Эти нормы эквив-ны, если .

Теорема. Если посл-ть сх-ся по одной из эквив-х норм, то она сх-ся и по др., причем к тому же эл-ту.

Теорема. Если банахово пр-во по одной из эквив. норм, то оно банахово и по др.

Теорема. В конечномерном пр-ве все нормы эквивалентны.