2.1. Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.). Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?
2.2. Задача о вычислении числа П. За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для П, которым пользовались вавилоняне.
2.3. Задача о шесте. Найти длину шеста, сначала вертикально прислоненного к стене, затем смещенного так, что его верхний конец опустился на 3 локтя, причем нижний конец отступил от стены на 9 локтей.
Древняя Греция
Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI-V вв. до н. э. Математики Древней Греции: Евклид, Аполлоний, Архимед, Пифагор, Фалес, Эратосфен.
Задачи Древней Греции
3.1. Задача “Суд Париса”.
Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее, высказав следующие утверждения:
АФРОДИТА. Я самая прекрасная.
АФИНА. Афродита не самая прекрасная.
ГЕРА. Я самая прекрасная.
АФРОДИТА. Гера не самая прекрасная
АФИНА. Я самая прекрасная.
Все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Кто прекраснее из богинь.
3.2. Задачи Архимеда. Древнегреческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг до н. э.) – математик, механик и астроном.
3.2.1. Доказать, что площадь круга, описанного около квадрата, вдвое больше площади вписанного в квадрат круга.
3.2.2. Найти сумму квадратов n первых чисел натурального ряда.
Китай.
Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н. э. Среди важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечение корней любой степени.
Задачи древнего Китая
4.1. Задача Ло-шу. Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.
4.2. Задача Сунь-цзы (III-IV вв.). Имеются вещи, число их не известно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.
4.3. Задача Чжан Цюцзяня (V в.). 1 петух стоит 5 цяней, 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.
4.4. Задача Цзу Чун-Чжи.
Найти наилучшую обыкновенную дробь к числу 
, если
3,1415926< < 3,1415927
Индия
Творчество индийских математиков оказало огромное влияние на развитие арифметики (индийская десятичная позиционная нумерация), алгебры (метод рассеивания для неопределенных уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными) и тригонометрии (бесконечные ряды для синуса, косинуса и арктангенса).
Задачи Древней Индии
5.1. Задача Брахиагупты. Найти высоту свечи, зная длины теней, отбрасываемых вертикальным шестом в двух различных положениях, и расстояние между ними (см. рис).
5.2. Задача-легенда. Изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?
5.3. Задача Магавиры. Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат 1/9 остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
5.4. Задача. О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.
Страны Ислама.
Крупнейшие ученые средневековья – ал-Хорезми, Авиценна, ал-Бируни, Омар Хайям, ал-Каши писали свои сочинения на арабском языке. Употребляемые нами термины “арабские цифры”, “корень”, “алгебра”, “алгоритм”, “синус” сформировались под влиянием науки стран Ислама.
Задачи стран Ислама.
6.1. Задача из сказки “1001ночь”
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях говорят расположившимся внизу: “Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас стало бы поровну”. Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
6.2. Задача ал-Каши (XV в.)
Плата работнику за месяц, то есть за тридцать дней, - десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?
6.3. Задача Ибн Сины (Авиценны, X-XI вв.)
Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Какое это число?
Страны Европы.
В середине I тыс. в Европе центрами просвещения сначала были монастыри, а позднее университеты. Развитие торговли, мореплавания, ремесел повысило роль математики. В XVII в. была создана аналитическая геометрия. В XVIII столетии появилось дифференциальное и интегральное исчисление. Научная деятельность крупнейших математиков сосредоточилась в прославленных академиях в Париже, Петербурге и Берлине.
Задача народов Европы.
7.1. Задача Леонарда Пизанского. Итальянский математик Л. Пизанский (1180-1240) по прозвищу Фибоначчи.
30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по две и пара воробьев - по монете; спрашивается, сколько птиц каждого вида.
7.2. Французская задача 17 век.
Трое имеют по некоторой сумме каждый. Первый дает из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй дает двум другим, столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий дает двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого, у всех троих оказывается по 8 экю. Спрашивается, сколько денег было у каждого.
7.3. Задача Исаака Ньютона. И. Ньютон (1643-1727) – величайший английский физик и математик, разработал дифференциальное и интегральное исчисление.
Даны 3 последовательных члена геометрической прогрессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов 133. Определить эти 3 члена.
7.4. Задача Г. В. Лейбница. Лейбниц (1646-1716) – немецкий философ, математик, физик и изобретатель.
Показать, что если n – целое число, то n5 – n делится на 5.
Россия.
Первые сведения о развитие математики на Руси относится к IX – XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). Рассвет математики и механики в России связано с основанием Петербургской академии наук (XVIII в.) и с именами великих ученых: М. В. Ломоносова, Леонарда Эйлера, П. Л. Чебышева, Н. И. Лобачевского, С. В. Ковалевской и др.