МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. МАГНИТНЫЙ ПОТОК.
Основные формулы
· Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура
где Bi — проекция вектора магнитной индукции на направление элементарного перемещения dl вдоль контура L. Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура
,
· Закон полного тока (для магнитного поля в вакууме)
где m0 — магнитная постоянная; 
— алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром; п — число токов.
Закон полного тока (для произвольной среды)
· Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:
а) в случае однородного поля
Ф= BS cosa; или Ф = B n S,
где a— угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором магнитной индукции В; В n — проекция вектора В на нормаль n (B n =B cosa);
б) в случае неоднородного поля
где интегрирование ведется во всей поверхности S.
· Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или тороида,
где Ф — магнитный поток через один виток; N — число витков соленоида или тороида.
· 
Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями:
а) магнитная индукция на осевой линии тороида
где I — сила тока в обмотке тороида; N — число ее витков; l 1и l2 - длины первой и второй частей сердечника тороида;m1 иm2—магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида;m0 —магнитная постоянная
б) напряженность магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника
H 1= B /(m1 m2); H 1= B /(m2 m0 );
В) магнитный поток в сердечнике тороида
или по аналогии с законом Ома (формула Гопкинсона)
|
|
Фm= F m/ R m,
где F m— магнитодвижущая сила; R m — полное магнитное сопротивление цепи;
г) магнитное сопротивление участка цепи
Rm=l/ (μμ0S).
• Магнитная проницаемость μ, ферромагнетика связана с магнитной индукцией (В) поля в нем и напряженностью (Н) намагничивающего поля соотношением
μ= B/ (μ0 H).
• Связь между магнитной индукцией (В) поля в ферромагнетике и напряженностью (Н) намагничивающего поля выражается графически (рис. 24.1).
Примеры решения задач
Пример 1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I =50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной l =65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?
Р 
ешение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением
В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Вn=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой
,
где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.
Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х, и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то
dф =B(x)dS.
Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (рис. 24.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде
|
|
dФ= 
Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x 1 =a до х2=2а, найдем
|p2p.
Подставив пределы, получим
Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [m0] [ I ] [ l ]= Гн/м×1 А×1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдем Ф=4,5 мкВб.
Пример 2. Определить индукцию В и напряженность Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N =200 витков, идет ток I =5 А. Внешний диаметр d 1тороида равен 30 см, внутренний d 2 = 20 см.
Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии магнитной индукции поля: 
Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 p r, где r — радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.
(1)
С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:
(2)
Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
(2)
Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2prH=-NI, откуда
(4)
Для средней линии тороида r=1/2(R1R2)=1/4(d1+d2). Подставив это выражение r в формулу (4), найдем
|
|
(5)
Магнитная индукция В 0в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B 0 = m0 H. Следовательно,
(6)
Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:
H =1,37 кА/м, B 0=1,6 мТл.
Пример. 3. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длинойо=5 мм. Длинасредней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I =4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.
Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем
IN=Hl+H 0 I 0.
По графику (см. рис. 24.1) находим, что при В=0,5 Тл напряженность (Н) магнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м. Так как для воздухаm=1, то напряженность поля в воздушном зазоре
H 0= Bm 0=0,4 MA/м.
Искомое число витков
N=(Hl+H 0 l o )/I==800.