Практическое занятие № 1.
Тема: Математика Древнего Египта, Месопотамии
Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Система счисления древних египтян. Арифметические действия. Египетские дроби. Арифметические задачи. Школы писцов
2) Особенности развития математики на территории Египта до эпохи эллинизма
3) Система счисления древних вавилонян. Арифметические действия и задачи.
4) Особенности развития математики на территории Вавилона на протяжении веков.
Практическое занятие № 2.
Тема: Зарождение греческой математики. Научные школы. Выдающиеся математики эпохи эллинизма
Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Зарождение греческой математики. Фалес, Милетская научная школа
2) Пифагор. Пифагорейская научная школа
3) Зенон и его апории. Роль кризисов в развитии математики. Аналогии с кризисами в развитии физики
4) Афинская научная школа. Софисты. Три классические задачи древних, открытия при попытке их разрешения. Гиппий, Динострат, Гиппократ, Архит Тарентский. Современный взгляд на проблемы древних
5) Систематизация математических знаний. Евдокс, Евклид. Обзор «Начал» Евклида.
6) Архимед. Обзор некоторых его работ («Квадратура параболы», «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «Псаммит»)
7) Аполлоний и теория конических сечений
Практическое занятие № 3.
Тема: Достижения математиков Китая, Индии, Арабского Востока. Западноевропейская математика средних веков
Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Математика древней Индии
2) Китайская математика
3) Арабская математика. Омар Хайям и геометрическая теория кубических уравнений
4) Социокультурная ситуация в Западной Европе в средние века
5) Источники развития математической мысли Западной Европы в средние века (Боэций, Леонардо Пизанский, Томас Брадвардин, Лука Пачоли). Первые университеты
Практическое занятие № 4
Тема: Социокультурная ситуация в Западной Европе в эпоху Возрождения. Особенности математики как науки в XV – XVI вв
Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Краткая характеристика европейского общества эпохи Возрождения
2) Особенности математики как науки в XV – XVI вв.
3) Решение уравнений третьей и четвертой степеней (дель Ферро, Л. Феррари). Итальянские алгебраисты. Тарталья и Кардано, история научного соперничества
4) Ф. Виет, усовершенствование обозначений, продвижение в теории уравнений
6) Иррациональные числа. Отрицательные, мнимые и комплексные числа (Дж. Кардано, Р. Бомбелли и др.). Десятичные дроби. Тригонометрия в астрономических сочинениях. Создание логарифмов
7) Первые университеты
Практическое занятие № 5.
Тема: Особенности культурной и научной обстановки в европейском обществе к началу XVII – XVIII вв. Создание и развитие математического анализа
Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Особенности культурной и научной обстановки в европейском обществе к началу XVII в.
2) Развитие механики, астрономии и математики в трудах Н. Коперника, Тихо Браге, И. Кеплера, Г. Галилея
3) Ферма и возникновение теории чисел. Большая теорема Ферма и гипотеза Таниямы
4) Отделение алгебры от геометрии. Декарт. Использование алгебры для решения геометрических задач
5) Правила перспективы и зарождение проективной геометрии. Работы Дезарга, Паскаля, Понселе
6) Развитие интеграционных и дифференциальных методов в XVII веке (И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль)
7) Создание математического анализа. Кризис в развитии математики. Жизнь и творчество И. Ньютона и Г.-В. Лейбница. Открытие Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления
8) Развитие математического анализа в XVIII веке.
9) Жизнь и творчество Л. Эйлера
10) Вклад династии Бернулли в развитие математики
11) Проблема обоснования алгоритмов дифференциального и интегрального исчисления. Подходы Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Л. Карно, Ж. Даламбера
Практическое занятие №6.
Тема: Предпосылки и условия развития математики в XIX в. Математика XX века: основные этапы жизни мирового математического сообщества
Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:
1) Предпосылки и условия развития математики в XIX в.
2) Б. Больцано: уточнение основных понятий исчисления бесконечно малых: непрерывность, производная, связь непрерывности и дифференцируемости. О. Коши построение анализа на базе теории пределов:
3) Жизнь и деятельность К.-Ф. Гаусса. Развитие концепции внутренней геометрии поверхностей.
4) Н.-Х. Абель. Завершение теории уравнений в ее традиционной форме.
5) Проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Э. Галуа и рождение теории групп. Развитие теории групп в XIX веке (А. Кэли, К. Жордан, теория непрерывных групп С. Ли). Аксиоматика теории групп. Теория групп и физика (кристаллография, квантовая механика).
6) Преподавательская деятельность математиков XIX века и стремление к математической строгости. К. Вейерштрасс и «арифметизация» анализа.
7) Б. Риман, его работа «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
8) Представители Берлинской школы: Л. Кронекер, Дедекинд, Кантор. Актуальная бесконечность: противоречия Кронекер – Дедекинд, Кантор в рамках арифметизации математики.
9) Математическая логика и основания математики в XIX — первой половине ХХ века (А. де Морган, Дж. Буль, У. С. Джевонс, Дж. Венн, Г. Фреге, Дж. Пеано. Б. Рассел, А. Уайтхед).
10) Работы по основаниям геометрии и арифметики конца XIX века. Кризис в основаниях математики в начале века и попытки выхода из него: логицизм, формализм, интуиционизм. Непротиворечивость как основная характеристика математической теории. Конструктивизм. Аксиоматизация теории множеств. Континуум-гипотеза и попытки ее доказательства от Г. Кантора до П. Коэна. Результаты К. Геделя и кризис гильбертовской программы обоснования математики. Возникновение группы Бурбаки, ее деятельность и идеология.
11) Математика XX века. Основные этапы жизни математического сообщества — до первой мировой войны, в промежутке между первой и второй мировыми войнами, во второй половине XX века (Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Д. Гильберт). Математические конгрессы, международные организации, издательская деятельность, премии (Филдсовская премия, премия Р. Неванлинны и др.). Ведущие математические школы и институты.