Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме
Конспект лекции с демонстрациями
Аннотация: изучение качественной стороны решений уравнения Шредингера, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. Традиционное изложение темы, дополненное двумя демонстрациями на компьютерных моделях.
Содержание
· Движение в прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины.
· Движение частиц в потенциальной яме конечной глубины.
· О компьютерной модели.
· Выводы.
Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах). Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой
Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?
· Вспомним "Кавказского пленника" (Л.Н.Толстой). Попавшего в плен Жилина держали в яме и требовали выкупа. Можно сказать, что для человека яма глубиной три метра – это яма с бесконечно высокими стенками. В ней человек может находиться в любом из состояний – от состояния покоя до интенсивного движения в бессильной ярости от невозможности выбраться на поверхность.
· Другой пример – лототрон. В нем шарики либо лежат на дне, либо скачут в ограниченном стенками пространстве.
В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки "ящика" бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.
Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок 1). Вероятность нахождения частицы в областях x < 0 и x > a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). В этом случае уравнение Шредингера принимает вид
,
где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение
.
Уравнение приобретает вид и имеет решение
.
Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = A sin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = A sin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3,... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций
.
Условие нормировки
.
Окончательный вид волновой функции
.
Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β2. Тогда получим выражение для энергии
(1).
Самым важным результатом является то, что возможны только такие состояния, для которых E принимает одно из дискретных значений. Введенное выше число n называют квантовым числом. Значения En называют уровнями энергии. Говорят, что частица находится в квантовом состоянии n, если ее движение описывается волновой функцией Ψn(x). Три первых уровня энергии, соответствующие им волновые функции Ψ(x) и квадраты волновых функций изображены на рисунке 2.
Состояние с минимальной энергией (n = 1) называют основным, остальные - возбужденными. Обратите внимание на то, что энергия основного состояния не равна нулю. Про микрочастицы можно сказать – "покой им только снится". Это – общий результат квантовой механики, справедливый для всех ее задач и полностью чуждый классической механике.
Распределение плотности вероятности по координате | Ψ(x) |2 неоднородно и зависит от n. Чем больше n, тем сильнее неоднородность. С классической точки зрения на частицу в яме не действуют никакие силы, и она с равной вероятностью может находиться в любой точке.
Расстояние между соседними уровнями энергии
.
Чем меньше масса частицы и ширина области движения, больше ΔE. Для электрона (масса порядка 10-30 кг) в атоме (размер порядка 10-10 м) получим ΔE ~ 10 эВ, а для молекулы (масса ~ 10-27 кг) в сосуде (размер порядка 10-1 м) – ΔE ~ 10-20 эВ. В последнем случае (ширина ямы макроскопических масштабов) энергию молекулы можно считать непрерывно изменяющейся величиной.
Найдем еще относительное расстояние между уровнями
.
При больших значениях квантового числа (большие возбуждения) дискретность состояний перестает проявляться. Фактически наблюдаем переход к непрерывному изменению энергии.
Посмотрим на иллюстрации движения частиц. Они выполнены в виде апплета, который будет работать в отдельном окне. Положение подвижной стрелки задает энергию частицы Е. Плавно передвиньте ее в верхнее положение. Если текущее значение Е разрешено законами физики, то строится график зависимости плотности вероятности P нахождения частицы от ее координаты. Слева графики строятся по формулам, полученным выше в результате решения уравнения Шредингера. Справа – предсказания классической физики. Одновременно наблюдайте за иллюстрацией одномерного движения частицы в нижней части окна. (Беру, как говорится, "грех на душу", изображая движение микрочастиц. Для них не применимо понятие траектории. Но об этом в следующих лекциях.) Если щелкнуть мышкой по ссылке, апплет придет в рабочее состояние (Вы двигаете стрелку и наблюдаете).
После прочитанного и увиденного рассортируйте 6 утверждений, приведенных ниже, по двум столбцам. Для этого щелкайте по нужной стрелке.
| Квантовая физика | Классическая физика | |
 равномерное распределение вероятности 
| ||
| значения энергии непрерывны
| ||
| энергия основного состояния не равна нулю
| ||
| значения энергии дискретны
| ||
| неравномерное распределение вероятности
| ||
| энергия основного состояния равна нулю
|
Движение частиц в потенциальной яме конечной глубины
Посмотрим, что изменится, если потенциальная яма будет иметь конечную глубину
Появляется возможность рассматривать две задачи: энергия E < U0, что соответствует связанному состоянию, и E > U0 – задача о рассеянии частиц.
Займемся первой, оставив вторую для последующих лекций. Теперь нет оснований полагать, что волновая функция равна нулю в первой и третьей областях. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение Шредингера для этих областей 
.
.
Во втором слагаемом коэффициент перед Ψ отрицателен. Обозначим его
.
Уравнения Шредингера вне и внутри ямы отличаются знаком перед Ψ
и имеют решения
.
Надо сразу положить A1 = B3 =0, чтобы решения не увеличивались беспредельно в области больших отрицательных и больших положительных значениях x. Для нахождения остальных коэффициентов надо использовать условия непрерывности волновой функции Ψ и ее первой производной dΨ/dx в точках x = 0 и x = a. Здесь мы ограничимся обсуждением качественно новых результатов. Решения вне ямы – апериодические, быстро спадающие. Например, в области 3
.
Отличие от нуля волновой функции Ψ(x) (а, следовательно, и |Ψ|2)в первой и третьей областях – это новый результат, которого нельзя было ожидать на основе классической теории. Напомним, что на рисунке 4 в области x > a энергия E < U0. По классическим представлениям кинетическая энергия T = E - U0 отрицательна! На длине
волновая функция в "классически запрещенной" области убывает в e раз. Поскольку в числителе стоит постоянная Планка h ~ 10-34 Дж·с, ожидать заметного эффекта для тел с макроскопической массой m или энергией U0 - E не приходится (при этом l → 0).
Возможные значения энергии, как и для ямы бесконечной глубины, квантованы. И полученная нами формула (1) остается хорошей аппроксимацией, особенно для больших U0 - E. Для получения точного значения необходимо решить численно трансцендентное уравнение. Отметим только, что число уровней в яме зависит от ее ширины и глубины. И может статься, в яме не окажется ни одного уровня. Это означает, что связанного состояния при данных параметрах не существует. Для дейтрона (U0 ~ 30 МэВ, a ~ 10-15 м) существует только одно связанное состояние с энергией -2.2 МэВ.
Cамостоятельно определите:
· как число уровней в яме зависит от ширины и глубины ямы;
· как энергия частицы зависит от квантового числа n
Подведем итоги:
· энергия основного состояния частицы не равна нулю;
· энергия частицы квантована и значение ее пропорционально n2;
· вероятность обнаружить частицу меняется от точки к точке;
· если значение квантового числа n устремить к бесконечности, решение переходит в классическое.