Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют вид:
Введем функцию
(3.17)
где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим
(3.18)
Вектор N(jw) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.
1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до ¥
(3.19)
Изменение аргумента вектора D(jw) в общем случае равно
(3.20)
где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правой полуплоскости.
Изменение аргумента вектора Найквиста будет
(3.21)
Если замкнутая система устойчива, то m=0 и
Так как при w®¥, W(jw)®0, то N(jw)®1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до ¥. Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1,j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).
Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.
Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).
Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.
где полином A1(s) имеет все корни в левой полуплоскости. При w=0 АФЧХ разомкнутой системы W(jw)=¥ и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от -¥ до +¥ наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при w=0 происходит бесконечный разрыв.
При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса r так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.
При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону
где фаза j(w) изменяется от -p / 2 до +p / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим
где R®¥ при r®0, а фаза j(w) изменяется от +p / 2 до -p / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(jw) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.
Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(jw) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.
2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае
где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.
Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то
(3.22)
т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(j сw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой системы.
Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.
Переход годографа W(jw) через отрезок вещественной полуоси (-¥,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.
(3.23)
где число положительных переходов, число отрицательных переходов.
Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.
Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления, а и Замкнутая система будет устойчивой.
Пример. Используя критерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации угла тангажа и определить ее запасы устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой системы была получена ранее и имеет вид
Численные значения коэффициентов заданы или вычислены ранее. Сделаем замену s=jw:
После преобразований получим
Изменяя частоту от 0 до ¥ построим кривую АФЧХ - рис. 3.13. Проведя дугу окружности единичного радиуса, определим, что запас устойчивости по фазе g=1100. Для рассматриваемого примера получим, что h =3.3.
Запасы устойчивости
Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа АФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки принято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.
Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид, показанный на рис. 3.12.
Угол g, образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом устойчивости системы по фазе.
(3.24)
Запасом устойчивости по модулю называется величина
(3.25)
где А(wp)- значение АФЧХ при частоте w=wp, при которой она пересекает вещественную ось.
Для всех систем должны выполняться требования:
Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, то для вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длины отрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измерения на второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будет смещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение. Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле: