Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа eнайдется положительное d(e), что для любых x₁,x₂, удовлетворяющих условию

0 <|x 1 -a|< d, 0 <|x 2 -a|< d,

справедливо неравенство

|f (x 1 -f (x 2) |< e.

Теорема 5 (Критерий Коши).. Для того, чтобы существовал предел функции f (x) в точке a ( lim _x ® af (x) = A) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x® ¥(±¥).

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E ® R

1. Если для любых x 1, x 2 Î E при x 1 <x 2 выполняется f (x 1) <f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)), то функция f (x) возрастающая (убывающая).
2. Если для любых x 1, x 2 Î E при x 1 <x 2 выполняется f (x 1)£ f (x 2) (f (x 1)³ f (x 2)), то функция f (x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

$ M (m)Î R " x Î X Þ f (x)£ M (f (x)³ m).

Определение 13. Функция f (x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

$ M, m Î R " x Î X Þ m £ f (x)£ M.

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f (x) на множестве X, если выполнены следующие условия

1. " xÎ X Þ f(x)£ M (f(x)³ m);
2. " e >0 $ x₀Î X: f(x₀)>M-e (f(x)<m+e) (см. рис. 16).

Предположим, что числа (или символы ±¥) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E ® R имела предел при x ® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x ® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Сравнение функций.

Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|£ c |g(x)| при |x-a|<d, x¹ a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.

Данное определение переносится и на случай, когда x® ¥, x® ±¥.

Пример 12.

1. Так как |1/x²| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x² = O(1/x) при x ® ¥;
2. 1/x = O(1/x²) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x² при |x|£ 1.

Запись f=O(1) при x® a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O (g) и g=O (f) при x ® a Þ f и g — одного порядка при x® a.

Пример 13. Функции f (x) = x (2+sin 1 /x) g (x) = x x ® 0 являются бесконечно малыми одного порядка при x® a, так как

f/g = (x (2+sin 1 /x)) /x = 2+sin 1 /x = | 2+sin 1 /x| £ 3 Þ f=O (g), g/f = 1 /| 2+sin 1 /x| £ 1 Þ g=O (f).

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f (x) и g (x) называются эквивалентными при x ® a, если $ f(x): f (x) = f (x) g (x), где lim_{x® a}f (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x ® a, если предел их отношения при x ® a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

sin x ~ x, x ® 0

(1)

tg x ~ x, x ® 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0

e^x- 1 ~ x, x ® 0

ln (1 +x) ~ x, x ® 0

(2)

 

m- 1 ~ mx, x ® 0

(3)

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов.

Теорема 7. Пусть f(x)~ f 1 (x), g(x)~ g 1 (x) при x ® a Тогда если существует предел

lim _x ® af 1(x) /g 1(x),

то существует

lim _x ® af (x) /g (x),

причем

lim _x ® af 1(x) /g 1(x) = lim _x ® af (x) /g (x).

Пример 14. Найти предел

lim _x ® 0(ln cos x) / sin x 2

Решение. Для решения воспользуемся асимптотическими равенствами (1), (2)

lim _x ® 0(ln cos x) / sin x 2 = lim _x ® 0 (ln(1-2sin² x/ 2)) /x 2 =

= lim _x ® 0(-2sin² x/ 2) /x 2 = -2lim _x ® 0(x 2 / 4) /x 2 = -1 / 2.

Определение 18 (символ о). Говорят, что функция f является бесконечно малой по сравнению с g при x ® a, и пишут f=o(g), x® a, если выполнено соотношение f(x) = a(x)g(x), где lim_{x® a} a(x) = 0. Иначе говоря lim_{x® a} f(x)/g(x) = lim_{x® a} a(x) = 0.

Пример 15.

1. x 2 = o (x) при x ® 0, так как lim _x ® 0 x 2 /x = lim _x ® 0 x = 0;
2. 1 /x 2 = o (1 /x) при x ® + ¥ так как lim _x ® ¥ x/x 2 = lim _x ® ¥1 /x = 0

Справедлива теорема.

Теорема 8. Для того, чтобы функции f(x), g(x) были эквивалентными при x ® a необходимо и достаточно, чтобы при x ® a выполнялось хотя бы одно из условий

f (x) = g (x) +o (g (x))

или

g (x) = f (x) +o (f (x)).

Заметим, что функции g(x) в первом условии и соответственно функция f(x) во втором называются главной частью функции f (x) (g (x) ).

Пример 16.

1. Функция x – главная часть функции sin x при x® 0, так как sin x = x+o(x) при x® 0;
2. Если P_n(x) = a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, a_n¹ 0, то функция a_nxⁿ является главной частью P_n(x) при x® ¥, так как P_n(x) = a_nxⁿ+o(xⁿ) при x® ¥.

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов.

Пример 17. Найти предел

Решение. Используя асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x 2 = o (x) при x ® 0 (см. пример 15) и f=o (x 2) является функцией o (x) при x ® 0, найдем

Определение 19. Если f=o(g) при x® a и g(x) - бесконечно малая при x® a, то говорят, что f(x) - бесконечно малая более высокого по сравнению с g(x) порядка при x® a.

Пример 18. x²- бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x при x® 0

Определение 20. Если f(x), g(x) -бесконечно большие при x® a и f=o(g) при x® a, то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f.

Пример 19. Функции f=x 3 +x 2+2 x+ 1, g=x 4+3 x 2 -бесконечно большие при x® ¥, и так как lim_{x® ¥} f/g=0, то g — бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f

Отметим некоторые правила обращения с символами o(), O().

Предложение 2.

1. o(f)+o(f) = o(f)
2. o(f) тем более есть O(f)
3. O(f)+O(f) = O(f)
4. Если g ¹ 0, то o(f)/g=o(f/g), O(f)/g=O(f/g).

Рассмотрим арифметические действия над функциями, име-

ющими пределы в точке.

Теорема 3.3.6. Пусть для функций f и g существуют пре-

делы limx!x0

f(x) и limx!x0

g(x). Тогда существуют указанные

ниже пределы и справедливы равенства:

limx!x0

 

f(x) g(x)= limx!x0

f(x) limx!x0 g(x);

limx!x0f(x) g(x) = limx!x0

f(x) limx!x0

g(x);

если, кроме того, limx!x0

g(x) 6= 0, то

limx!x0

f(x)

g(x)

=

limx!x0

f(x)

limx!x0

g(x)

:

Доказательство. Из условия limx!x0

g(x) 6= 0 согласно тео-

реме 3.3.2 следует, что в некоторой проколотой окрестности точ-

ки x0 выполняется неравенство g(x) 6= 0. Значит, в этой окрест-

ности имеет смысл частное f(x)=g(x).

Для доказательства каждого из утверждений теоремы выби-

раем произвольную сходящуюся к x0 последовательность точек

fxng из проколотой окрестности точки x0, в которой определе-

ны функции f и g. Для последовательностей ff(xn)g и fg(xn)g

соответствующие свойства известны (когда говорится о частном,

учитываем, что g(xn) 6= 0 для достаточно больших n). При этом

для любой такой последовательности fxng в левой части равенств

каждого из утверждений получаем одинаковые значения преде-

лов, так как пределы в правых частях не зависят от выбора по-

следовательности.

До сих пор всюду имелись в виду конечные пределы функций.

Но можно говорить и о свойствах бесконечных пределов.

Нетрудно показать, что если limx!x0

f(x) = +1, а функция

g(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0,

то

limx!x0

 

f(x) g(x)

 

= +1:

Но не все свойства конечных пределов переносятся на бесконеч-

ные пределы. Например, в правых частях равенств теоремы 3.3.6

могут появиться выражения, не имеющие смысла.