Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид 
, где 
– действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция 
задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция 
– нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси 
. Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу 
Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение 
– нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» 
:
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки 
и данной прямой 
, не проходящей через точку .
Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае 
. При этом фокус имеет координаты 
, а директриса задаётся уравнением 
.
В нашем примере 
:
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки 
параболы длина отрезка 
(расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра 
(расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси 
. При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице: 
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание: как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: 
, то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положени я. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: 
, то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки.
На следующем чертеже изображены графики кривых 
:
Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: 
.
Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны! Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу 
и разобрать каноническое уравнение 
, но, к сожалению, у неё достаточно малый фокальный параметр 
, и чертеж с точкой фокуса 
, директрисой 
был бы крайне невразумителен.
2) Параллельный перенос. Без всякой оригинальности. Уравнение 
задаёт ту же параболу с вершиной в точке 
. По моим наблюдениям, во многих задачах матана очень популярен частный случай 
– когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус».
Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения:
Пример 7
Построить параболу 
. Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы.
Как лучше действовать?
По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Примера 6 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями 
.
Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать в каноническом положении!
Ну, а наша обзорная экскурсия подошла к концу, и я надеюсь, что у вас не возникло и не возникнет трудностей с тремя атлантами темы – эллипсом, гиперболой и параболой. Предлагаю узнать новый теоретический материал и закрепить практические навыки на уроке Задачи с линиями 2-го порядка.