Лекция 2. Системы счисления. Кодирование информации
Системы счисления
Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления.
Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.
Символы, используемые для записи чисел, называются цифрами. Множество цифр образует алфавит системы счисления. Часто в алфавит входит и знак “,” (запятая).
В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
В непозиционной системе значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. К таким системам счисления относится, например, римская система счисления.
Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различные значения, определяемые позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р-1. Примером позиционной системы счисления может служить привычная нам арабская десятичная система.
Позиционные системы счисления
Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:
C= Cn Pn +Cn-1 Pn-1 +…+C1 P1 +C0 P0 +C-1 P-1 +…+C-m P-m,
 |
или
где в качестве Ci могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
· положительные значения индексов - для целой части числа (n разрядов);
· отрицательные значения - для дробной (m разрядов).
Формы представления чисел
В вычислительных системах применяются две формы представления чисел:
· естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);
· нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).
® С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.
C = Cn Cn-1 …C1 C0, C-1… C-m
Запятая опускается, если дробная часть отсутствует. Позиции цифр в такой записи называются разрядами. Разряды нумеруются влево от запятой, начиная с нуля: 0-й,1-й,...(n-1)-й, n-й; и вправо от запятой: 1-й, 2-й,...(m-й).
Значение Ci цифры ci в позиционных системах счисления определяется номером разряда:
Ci = сi Рi.
Величина Pi называется весом, или значением, i-го разряда. В позиционных системах счисления значения соседних разрядов отличаются в P раз: левый в P раз больше правого.
Пример 1. Десятичная система счисления.
Р=10.
Цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
723,1910 =7×102 +2×101 +3×100 +1×10-1 +9×10-2.
Пример 2. Двоичная система счисления.
Р=2.
Цифры: 0,1.
101110,1012 = 1×25 +0×24 +1×23 +1×22 +1×21 +0×20 +1×2-1 +0×2-2 +1×2-3
Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема в вычислениях.
Максимальное целое число, которое может быть представлено в n разрядах:
.
Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в m разрядах дробной части:
.
Имея в целой части числа n, а в дробной части m разрядов, можно записать всего P n+m разных чисел.
Пример 3. Двоичная система счисления.
Р = 2.
n = 10, m = 6.
Возможное для представления значение N лежит в пределах:
0,015 < N < 1024.
Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.
® С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, а вторая порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:
,
где M - мантисса числа (| М | <1);
r - порядок числа (r - целое число);
P - основание системы счисления.
Пример 4. Приведем несколько равенств: левая часть равенства – число в естественной форме, правая часть – в нормальной форме. Для записи естественной формы используются 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части.
+00721,35500 = +0,721355×103;
+00000,00328 = +0,328×10-2;
-10301,20260 = -0,103012026×105.
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.
Пример 5. Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов у порядка и мантиссы) будет:
.
При Р = 2, m = 10 и s = 6 диапазон чисел простирается примерно от 10-19 до 1019. (Сравните примером 3).