Главной задачей замкнутых систем регулирования является воспроизведение с максимальной точностью заданного сигнала
.
а)
 |
б)
Рис.2.1 Система с дискретным ПИД-регулятором
Т.е. регулятор должен компенсировать инерционность объекта. Для одноконтурных систем управления на рис.1.5. передаточная функция замкнутой системы при полной компенсации должна представлять безинерционное звено, например с коэффициентом kс
.
Приняв для упрощения вывода WСП(p)=1 и WД(p)=1 согласно (1.5) получим
Откуда при kс<1 (в этом проявляется этатизм системы) выражение для передаточной функции компенсационного регулятора определяется следующим образом
.
Например, для объекта первого порядка
,
где 
; 
Т.е. для полной компенсации требуется реализовать идеальное дифференцирующее звено, что на практике не осуществимо. Поэтому требования к компенсационному регулятору необходимо ослабить
где Wg(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы. Из (2.16) следует, что
.
Передаточная функция Wg(p) должна выбираться из двух противоречивых условий - возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции является
m £ n
где m - порядок полинома числителя;
n - порядок полинома знаменателя.
Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (2.18) будет определятся следующим выражением
где n и m - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции.
Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид
.
Значить минимальное значение порядков числителя и знаменателя Wg(p), очевидно, будет следующим
n = 0; m = 1.
Т. е. желаемая передаточная функция будет иметь вид звена первого порядка
,
но в отличии от объекта зададим условие Tg << To.
По формуле (2.17) получим
.
Для удовлетворения требования (2.16) в установившемся режиме примем kg = 1. В этом случае
,
где 
; 
.
Таким образом получили реализуемый ПИ-регулятор. При Tg®0 обеспечивается приближение к требованию (2.16) и в переходных режимах. Практически минимальное значение Tg ограничивается технической реализуемостью коэффициентов kП и kИ, величина которых возрастает с увеличением Tg, и помехозащищенность контура регулирования.
Если объект более высокого порядка, то согласно условию (2.20) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования.
Очевидно, что выражение (2.17) справедливо и для одноконтурной дискретной системы (рис.1. 5).
, (2.21)
где WC(z) - дискретная передаточная функция объекта с формирующим звеном.
Из этого выражения следует, что
. (22)
Условие реализуемости дискретной передаточной функции определяется также соотношением (2.20), где m и n - порядок полинома числителя и знаменателя положительных степеней относительно переменной z. В противном случае выходной сигнал с выхода дискретного звена будет зависеть от значения выходного сигнала в такты времени, которое еще не поступило, что практически не реализуемо. Следовательно, реализуемость дискретного компенсационного регулятора также определяется условием (2.20).
Рассмотрим определение WR(z) также на примере первого порядка.
В преобразований получим выражение, аналогичное выражению (1.25)
, (2.23)
где 
; 
.
Необходимо отметить, что в дискретной системе на минимальную величину Tg накладывается дополнительное ограничение (2.12), связанное с длительность периода квантования Т.
Подставляя в (2.22) выражения для передаточных функций (1.25) и (2.23), получим
или
где 
; 
.
Т. е. получили дискретный ПИ-регулятор.
Особый интерес в дискретных системах представляет особой вид компенсационных регуляторов, которые обеспечивают апериодическую обработку ступенчатого задающего сигнала за n-тактов, где n - порядок объекта управления. Такие регуляторы называются апериодическими.
Если передаточная функция объекта совместно с формирователем имеет вид
(2.24)
Т. е. желаемая передаточная характеристика замкнутой системы регулирования, которая соответствует апериодическому переходному процессу за n тактов будет определятся следующим выражением
(2.25)
где
.
Убедимся, что при ступенчатом воздействии uз(k)=const при k=0,1,2… переходный процесс закончится за n тактов. В соответствии с (2.24) и (2.25) выходная координата определяется выражением
.
Применив к этому выражению обратное z-преобразование получим следующее разностное уравнение
.
Определим y(k) при k=1,2,3…
;
;
…………………………………………………………………….
;
;
……………………………………………………………………..
Учитывая, что uз(k) постоянная величина, ее можно вынести за скобки. Из анализа двух последних выражений видно, y(n+1)=y(n). Т. е. переходный процесс закончился за n тактов. Подставив из (2.24) выражение для коэффициента q0, получим, что за это время выходная координата достигает заданного значения
.
Определим передаточную функцию регулятора, который обеспечивает такой апериодический переходный процесс. Подставим в (2.22) выражение для передаточных функций (2.24) и (2.25)
.
После преобразования получим передаточную функцию апериодического регулятора
(2.26)
В развернутом виде согласно (2.23) и (2.25) получим
, (2.27)
где q0=1/Sbi; qi=q0ai; pi=-q0bi, i=1,2,…,n;
ai, bi - коэффициенты передаточной функции объекта управления.
В качестве примера определим апериодический регулятор для объекта первого порядка (1.25). Подставив в (2.27) значение коэффициентов передаточной функции (1.25), определим, что
(2.28)
где 
; 
;
; 
.
Полученная передаточная функция соответствует типовому дискретному регулятору (2.5) при n=1. Т.е. апериодический регулятор для объекта первого порядка представляет собой дискретный ПИ-регулятор. Отличие регулятора (2.28) состоит в том, что его коэффициенты определены из условия достижения выходной координаты за один такт квантования (в рассматриваемом примере n=1). Убедимся в этом, подставив в (2.21) выражения передаточных функций (1.25) и (2.28), получим
.
После элементарных преобразований
Разностное уравнение, соответствующее этому выражению
(2.31)
показывают, что величина выходной координаты повторяет задающий сигнал с отставанием на один такт. Т.е. при ступенчатом изменении uз(k) переходный процесс закончится за один такт.
Определим характер изменения управляющего воздействия, поступающего с апериодического регулятора на объект управления. Разностное уравнение, соответствующее передаточной функции апериодического регулятора (2.28), будет иметь вид
. (2.32)
При k=0 согласно (2.31) y(0)=0, следовательно
.
Или подставляя выражение для q0 из (2.28) получим
. (2.34)
При k=1 согласно (2.31) y(1)=uз(0)=uз, следовательно
.
Принимая во внимание (2.31) и (2.34) получим
. (2.35)
На рис.2.2 представлены графики зависимости задающего и управляющего сигналов и выходной координаты. Очевидно, что возможность технической реализации апериодического регулятора с величиной периода квантования. Из (2.34) видно, что при Т®0 величина управляющего воздействия u(0)®0. На рис.2 представлены графики переходных процессов при уменьшении периода квантования в два раза. Реально эта величина ограничена определенной величиной umax. При таком ограничении длительность периода квантования может быть определена из (2.34) при uз=1 следующим образом
. (2.36)
Величина umaxko равна максимальному значению выходной координаты объекта. Отношение 
есть коэффициент форсировки. При y=1, что соответствует uз=0, выражение (2.36) примет следующий вид
. (2.37)
 |  | ||
 |  |
а) б)
Рис.2.2 Переходные процессы в системе с апериодическим
регулятором и объектом первого порядка
Для объектов высокого порядка формула расчета из условия ограничения управляющего воздействия значительно усложняется. Наиболее просто задание управляющего воздействия осуществляется с помощью апериодического регулятора повышенного порядка, который производит установление выходной координаты за n+1 тактов. Передаточная функция такого регулятора имеет вид:
, (2.38)
где 
– задается;
;
.
Для рассматриваемого в примере объекта первого порядка согласно (1.25) и (2.38) получим следующее выражение
, (2.39)
где ;
;
;
;
.
Если объект имеет на m тактов запаздывание, которое согласно (1.21) в дискретной передаточной функции учитывается сомножителем z-m, то аналогично можно доказать, что передаточная функция апериодического регулятора будет иметь следующий вид:
Длительность переходного процесса при ступенчатом изменении задания будет составлять, очевидно, n+m тактов.
Из (2.4), (2.27) и (2.39) следует, программно дискретные ПИД - регуляторы и апериодические регуляторы реализуются практически одинаково. Применение того или иного регулятора зависит от конкретных требований к качеству управления, вида объекта управления и допустимой величины периода квантования. Типовые дискретные И, ПИ, ПИД - регуляторы целесообразно применять для объектов не выше третьего порядка или в системах подчиненного или каскадного регулирования особенно для стабилизации выходной координаты при uз=const. Достоинством этих регуляторов является наличие разработанных рекомендаций для их настройки, особенно для случаев, когда синтез можно производить по непрерывному описанию системы управления (условие (2.14)).
Достоинство компенсационных регуляторов состоит в возможности их синтеза путем задания желаемой передаточной функции замкнутой системы. В принципе, порядок объекта не ограничен. Однако, надо учитывать, что результирующая передаточная функция получается путем сокращения полюсов и нулей в передаточной функции объекта управления (путем их компенсации). Поэтому регулятор применим только для устойчивых объектов, т.е. таких, у которых полюсы и нули дискретной передаточной функции лежат на плоскости внутри единичной окружности.
Наиболее просто осуществляется синтез апериодического регулятора. Однако конечное время установления достигается только при точном совпадении модели объекта и истинными параметрами самого объекта. Если такого совпадения нет, то в замкнутой системе могут возникнуть колебания. Поэтому апериодический регулятор целесообразно использовать только для хорошо задемпфированных устойчивых объектов или в системах адаптивного управления с идентификацией параметров объекта.