Основные теоретические сведения

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Тема: Ортогональное центральное композиционное планирование

11 вариант

Руководитель ________ А. П. Прокопьев

Студент, группы СФ 15-07М ________ А. С. Шулбаева

Красноярск 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1 Основные теоретические сведения. 5

2 Исходные данные. 6

3 Обработка экспериментальных данных средствами MathCAD.. 7

4 Основные результаты.. 12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 14

ВВЕДЕНИЕ

Применение линейных планов совместно с методом градиентного поиска оптимума позволяет достичь окрестностей точки оптимума. Поиск оптимального решения в этой области требует перехода от линейных моделей к моделям более высокого порядка – как минимум к полиномам второй степени.

Построение такой модели требует применения плана, в котором каждая переменная принимает хотя бы три различных значения. Существуют различные подходы к построению планов второго порядка. Можно воспользоваться ПФЭ типа 3 ^k, но такие планы обладают большой избыточностью. Например, для трех переменных количество точек плана составит 27, а количество оцениваемых коэффициентов в функции отклика равно 10. В соответствии с идеей пошагового эксперимента планирование рационально осуществлять путем добавления специально подобранных точек к “ядру”, образованному планированием для линейного приближения. Такие планы называют композиционными (последовательными), они позволяют использовать информацию, полученную в результате реализации линейного плана.

Композиционные планы используются обычно на заключительном этапе исследования, когда модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое потом достраивается до полной квадратичной формулы. В этом случае композиционные планы дают выигрыш по числу опытов по сравнению с другими планами. Эти планы можно применять и при непосредственном построении функции отклика в виде полинома.

Решение подобных задач основано на применении ортогональных или ротатабельных центральных композиционных планов (ЦКП). Эти планы используют в качестве ядра полный факторный эксперимент или минимально возможные регулярные дробные реплики типа 2 ^{k – p}. В качестве дробной реплики применяют такую, в которой два любых парных взаимодействия по модулю не равны друг другу для любых попарно различных индексов. Именно план ПФЭ или дробные реплики, удовлетворяющие указанному условию, служат ядром ЦКП. На практике широкое распространение получили два типа ЦКП, известные как планы Бокса и Хартли. Понятие «центральный» означает, что факторы принимают значения, симметричные относительно центра плана.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Бокса, если его ядром является ПФЭ 2 ^k или регулярная реплика типа 2 ^{k – p}. Применение ПФЭ или регулярных реплик позволяет получить несмещенные оценки коэффициентов модели. Из условий построения дробной реплики следует, что разрешающая способность ядра плана должна быть больше четырех, т.е. определяющий контраст должен содержать не менее пяти переменных. Следовательно, ядром плана Бокса при k < 5 является ПФЭ, а при 5 может быть ДФЭ.

План Бокса можно сделать ортогональным либо рототабельным. Но нельзя добиться одновременного и строго соблюдения обоих свойств. В некоторых случаях ЦКП можно сделать приближенно и ортогональным, и рототабельным, если вначале построить ротатабельный план, а затем подобрать необходимое количество опытов в центральной точке.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Хартли, если его ядром является регулярная реплика типа 2 ^{k – p}, в которой некоторые парные взаимодействия равны по модулю линейным факторам. Иначе говоря, ЦКП второго порядка будет или планом Бокса или планом Хартли.

Основные теоретические сведения

Разработка математической модели предусматривает принцип «от простого к более сложному». В имитационной модели в виде полинома этот принцип предусматривает переход от полинома первого порядка

, (1)

к полиному второго порядка

. (2)

В том случае, если с помощью полного факторного эксперимента не удается получить адекватного математического описания РЭС или процесса, то переходят к центральным композиционным планам (ЦКП). Наибольшее распространение получили ортогональный и ротатабельный ЦКП. В ортогональном центральном композиционном плане (ОЦКП) к опытам полного факторного эксперимента (ПФЭ) или дробного факторного эксперимента нужно добавить опыты в «звездных точках» и опыт в центре плана.

Число опытов ортогонального центрального композиционного плана определяется по следующей формуле:

N= 2ⁿ + 2n+1. (3)

Важными свойствами ЦКП является то, что информация, полученная при проведении полного факторного эксперимента или дробного факторного эксперимента, не теряется, а используется в дальнейших исследованиях.2 n –это число опытов в «звездных точках», имеющих координаты:

(± );

( ± );

( ± ),

где – величина «звездного плеча».

В центре плана – один опыт. Это точка факторного пространства с координатами (0,0,0,..,0).

Для удобства расчетов и анализа результатов переходят к нормированному масштабу факторов.

Исходные данные