Системы уравнений четырехполюсника

 

На рисунке 1, а) представлен линейный пассивный четырехполюсник, входные напряжения и ток в котором связаны с выходными напряжением и током двумя уравнениями, получившими назва­ние основных уравнений четырехполюсника.

где комплексные коэффициенты при и называются -параметрами (или постоянными) четырехполюсника.

-параметры обычно обозначают различными буквами: .

Таким образом, уравнения четы­рехполюсника в форме имеют вид (2)

 

Один из способов определения -параметров основан на опытах холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника со стороны выходных зажимов. При холостом ходе ток на выходе и уравнения четырехполюсника в форме принимают вид

. (4)

При коротком замыкании напряжение между выходными зажимами четырехполюсника и уравнения четырехполюсника в форме имеют вид

(5)

Из (4) и (5) получаем, что параметр есть величина, обратная коэффициенту усиления по напряжению при разомкнутых выходных зажимах параметр − величина, обратная коэффициенту усиления по току при закороченных выходных зажимах ; параметр – передаточное сопротивление при закороченных выходных зажимах ; параметр – передаточная проводимость при разомкнутых выходных зажимах .

Тема 7 Электрические фильтры.

Основные определения

 

Чем выше добротность контура, тем уже его полоса пропускания и острее резонансная кривая. Острота резонансной кривой характеризует частотную избирательность колебательного контура, т.е. способность пропускать или задерживать электрические колебания только определенной частоты − резонансной или близко к ней.

В различных электротехнических устройствах между источником энергии и приемником включают электрические фильтры в виде четырехполюсников или цепных схем, чтобы пропускать к приемнику только токи заданного диапазона частоты. Цепные схемы состоят из каскадно-включенных четырехполюсников, называемых звеньями. При этом выходные схемы каждого предыдущего звена соединяются с входными схемами последующего.

Электрический фильтр − пассивный четырехполюсник, пропускающий некоторую определенную полосу частот с малым затуханием, вне этой полосы частот затухание велико.

Полоса частот, при которых затухание мало называется полосой пропускания фильтра. Остальную область частот называют полосой задерживания или затухания.

Электрические фильтры классифицируются по:

– пропускаемым частотам: НЧ, ВЧ, полосные, заграждающие;

– схемам звеньев: Г, Т, П-образные, мостовые и т.п.;

– характеристикам: простейшие типа , более высокого класса типа ;

– типам элементов: реактивные ( и ), пьезоэлектрические (кварцевые пластины), безиндуктивные ( и ) и др.

Условием пропускания реактивного фильтра является наименьшее число элементов равное 2, т. е. это Г-образные фильтры.

Для обратимого четырехполюсника справедливо ,гд е − коэффициент передачи или мера передачи (постоянная распространения), – собственное затухание четырехполюсника, – коэффициент фазы.

Фильтры обычно собирают по симметричной Т и П-образной схеме, которые в дальнейшем можно представить как комбинацию из Г-образных фильтров (рисунок 7.1).

В случае симметричного Т и П-образного фильтра коэффициент передачи определяется

; .

 

 

 

А) б)

Рисунок 7.1 – Принципиальные схемы Т (а) и П (б) - образных

Фильтров

 

Полосой пропускания реактивного фильтра является область частот, при которой собственное затухание реактивного фильтра равно нулю ().

Для любого симметричного реактивного фильтра в полосе пропускания, т.е. при :

Частота, являющаяся граничной между полосой прозрачности и полосой затухания, называется частотой среза.

Характер изменения угла b для зоны прозрачности

В полосе затухания , ,т.е. при и при . При , , а при , .

С изменением частоты изменяются коэффициенты и четырехполюсника, поэтому меняется характеристическое сопротивление

.

Для того, чтобы фильтр работал на согласованную нагрузку, при изменении частоты нужно изменять и сопротивление нагрузки.

В полосе прозрачности характеристическое сопротивление фильтра всегда активное, а в полосе затухания – чисто реактивное.

 

-фильтры

 

Во избежание получения громоздких фильтров с низкой добротностью катушек применяют безындукционные фильтры (), состоящие из активных сопротивлений и емкостей. -фильтры также используют в случае когда сопротивление нагрузки, на которую включен фильтр, очень велико, т. е. теоретически стремиться к бесконечности.

На рисунке 7.6 показан -фильтра нижних частот (ФНЧ) и его векторная диаграмма. При низких частотах, когда емкостное сопротивление велико, напряжение на выходе фильтра немного меньше напряжения на его входе и, следовательно, затухание мало. С повышением частоты емкостное сопротивление убывает, напряжение на выходе уменьшается и, следовательно, затухание возрастает.

Комплексный коэффициент передачи напряжения такого фильтра при и можно представить в виде

(7.1)

 

Рисунок 7.6 − Принципиальная схема - фильтра нижних частот (ФНЧ)

 

При этом модуль коэффициента передачи выражения (7.1) или другими словами амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра будет иметь вид

, (7.2)

где − постоянная времени фильтра.

Фазовый сдвиг между напряжением на выходе и входным напряжением или фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра определяется выражением

. (7.3)

Зависимости (7.2) и (7.3) представлены на рисунке 7.7. Граничная частота (частота среза) определяется по уровню, при котором модуль коэффициента передачи уменьшается в раз от своего максимального значения. С учетом сказанного выражение (7.2) дает для граничной частоты

или . (7.4)

Как следует из рисунка 7.7, не наблюдается резкого перехода от полосы прозрачности к полосе задержки фильтра, что характерно для - фильтра.

 

 

 

Рисунок 7.7 − Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики -фильтра нижних частот

 

Принципиальная схема -фильтра верхних частот (ФВЧ) приведена на рисунке 7.8. При низких частотах, когда емкостное сопротивление велико, напряжение на выходе фильтра мало, т. е. получается большое затухание. С увеличением частоты емкостное сопротивление уменьшается, и напряжение на выходе возрастает, т. е. затухание убывает.

Комплексный коэффициент передачи ФВЧ по напряжению и имеет вид

. (7.5)

 

Рисунок 7.8 − Принципиальная схема -фильтра верхних частот (ФВЧ)

АЧХ и ФЧХ такого фильтра, как следует из соотношения (7.5), выражаются формулами

. (7.6)

 

. (7.7)

Графики выражений (7.6) и (7.7) приведены на рисунке 7.9. Граничная частота -фильтра верхних частот определяется аналогично граничной частоте фильтра нижних частот

или .

 

 

 

 

 

Рисунок 7.9 − Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики -фильтра верхних частот

 

Полосовой -фильтр может быть образован путем последовательности соединения -фильтров нижних и верхних частот (рисунок 7.10, а).

 

Рисунок 7.10 − Принципиальная схема полосового -фильтра

 

В полосовом фильтре первое звено (ФНЧ) не пропускает колебаний высоких частот, а второе звено (ФВЧ) не пропускает колебаний низких частот. Где-то в области перехода от полосы прозрачности к полосе задержки обоих звеньев и лежит максимальное значение коэффициента передачи фильтра (рисунок 7.11).

Выражение для коэффициента передачи по напряжению для полосового фильтра при и имеет вид

. (7.8)

Из соотношения (7.8) для модуля коэффициента передачи (АЧХ) полосового фильтра следует

. (7.9)

Максимальная величина модуля коэффициента передачи выражения (7.9) наблюдается при и принимает значение

. (7.10)

График зависимости (7.9) показан на рисунке 7.6.

 

 

 

Рисунок 7.11 − Амплитудно-частотная и фазо-частотная

характеристики полосового -фильтра

 

Как видно на данном рисунке, АЧХ полосового фильтра напоминает резонансную кривую колебательного контура. Поэтому, соответствующую частоту называют квазирезонансной. Ее значение может быть получено из выражения (7.9) с учетом соотношения (7.10)

или . (7.11)

Заграждающий -фильтр часто называют двойным Т-образным мостом. Он представляет собой параллельное соединение Т-образных фильтров верхних и нижних частот (рисунок 7.12, а).

 

 

а) б)

 

Рисунок 7.12 − Принципиальная схема заграждающего -фильтра

 

Качественно работу заграждающего фильтра можно объяснить, перерисовав схему более наглядно, как показано на рисунке 7.12, б. В данном случае считается, что сопротивление нагрузки не влияет на работу фильтра, т. е. имеет достаточно большую величину. Слева и справа подведено переменное входное напряжение от одного и того же источника сигнала. В этом случае можно заметить, что при и при . Это означает, что в области нулевой частоты и бесконечно больших частот коэффициент передачи фильтра равен .

Графики зависимостей и представлены на рисунке 7.14. Если в рассматриваемом заграждающем фильтре положить , , и , то выражение для его АЧХ и ФЧХ будет иметь соответственно вид

, , (7.12)

а значение для квазирезонансной частоты будет равно

или . (7.13)

 

Рисунок 7.14 − Графики зависимостей и заграждающего -фильтра