Группа № 13 Информатика и ИКТ
Урок № 8
Тема: Логические операции. Операции «импликация», «эквивалентность». Примеры законов алгебры логики. Эквивалентные преобразования логических выражений. Построение логического выражения с данной таблицей истинности. Решение простейших логических уравнений.
Цели: познакомиться с основными логическими операциями: инверсией, дизъюнкцией, конъюнкцией, импликацией и эквивалентностью.
- использование логических операций при составлении сложных высказываний;
ПЛАН
1. Изучение нового материала
2. Закрепление нового материала
Теоретические сведения
В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.
Логика- это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств. Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.
Понятие- это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других. Пример: прямоугольник, проливной дождь, компьютер.
Высказывание — это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.
По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.
Пример: истинное высказывание: «Буква «а» - гласная», ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».
Пример.Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
1.Какой длины эта лента? 2.Прослушайте сообщение.
3.Делайте утреннюю зарядку! 4.Назовите устройство ввода информации.
5. Кто отсутствует? 6.Париж — столица Англии. (ЛОЖЬ)
7. Число 11 является простым. (ИСТИНА) 8. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ)
9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. 10. Сложите числа 2 и 5.
11.Некоторые медведи живут на севере. (ИСТИНА) 12. Все медведи — бурые. (ЛОЖЬ)
13.Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.
Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).
Логические выражения и операции
Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.
Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.
Логическая переменная — это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение — латинская буква. Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).
Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение - F(A,B,...). На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.
Логические операции — логическое действие.
Существуют три базовые логические операции — конъюнкция, дизъюнкция и отрицание и дополнительные — импликация и эквивалентность.
В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С), которые могут принимать значения истина (1) или ложь (0). Истина, ложь – логические константы.
Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операции.
Логические операции.
Конъюнкция (логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и ∧.
| A | B | A&B |
Правила выполнения логической операции отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности:
А – У меня есть знания для сдачи зачета.
В – У меня есть желание для сдачи зачета.
A&B – У меня есть знания и желание для сдачи зачета.
Вывод: Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.
| A | B | AVB |
Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V.
Рассмотрим таблицу истинности для данной логической операции.
Обозначим через A - летом я поеду в лагерь, B – летом я поеду в к бабушке.
AVB - Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке.
Вывод: логическая операция дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна
| A | A |
Отрицание или инверсия – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом, ¯. Пусть A – Сейчас на дворе лето.
Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.
| А | В | А  В
|
Логическое следование (импликация): если …, то … (если предпосылка, то вывод); знаки 
, . Таблица истинности:
А В равносильно 
V В. Доказать.
| А | В | А  В
|
Логическое равенство (эквивалентность): тогда и только тогда, когда …; знаки , 
. Таблица истинности:
А В равносильно (A V 
) & ( V B) или ( & ) V (A&B).
Доказать 1-е алгебраически на доске. Доказать 2-е с помощью электронных таблиц самостоятельно.
Последовательность выполнения операций:
отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Кроме того, на порядок выполнения операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.