Математические основы финансово-экономических расчетов при принятии финансово-кредитных решений
Простые ставки ссудных процентов.
- компаудирование по простой ссудной ставке
- дисконтирование по простой ссудной ставке
Если продолжительность ссуды менее одного года можно использовать следующую формулы:
; 
; 
; 
;
При N интервалах начисленная наращенная сумма составит:
)
Простые учетные ставки
, 
, 
, 
, 
.
Сложные ставки ссудных процентов.
, 
,
Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:
, тогда 
где п = 
+ пь; - целое число лет; 
- дробная часть года.
Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. 
Здесь mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тп - целое число интервалов начисления, l - часть интервала начисления), то выражение принимает вид:
Сложные учетные ставки
, 
Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем:
Для начисления процентов m раз в году формула имеет следующий вид:
или 
Эквивалентность процентных ставок различного типа
Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками. Рассмотрим несколько случаев.
1) 
, откуда 
; 
.
2) 
, откуда 
; 
.
3) 
, откуда 
; 
Для различных случаев сложных процентов получаем следующее уравнение эквивалентности:
4) 
, откуда 
; 
.
эффективная (действительная) ставка сложных процентов.
Далее для установления эквивалентности между сложными учетными ставками и сложными ставками ссудных процентов имеем:
5) 
, откуда 
; 
Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.
Учет инфляционного обесценения денег в принятии финансовых решений.
Пусть 
- сумма, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции. Через 
обозначим разницу между этими суммами.
Отношение / S, выраженное в процентах, называется уровнем инфляции.
При расчетах используют относительную величину уровня инфляции - темп инфляции 
.
Тогда для определения получаем следующее выражение:
.
Величину 
, показывающую, во сколько раз больше S (т. е. во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом инфляции 
.
Пусть . - годовой уровень инфляции. Это значит, что через год сумма 
будет больше суммы S в (1 + .) раз. По прошествии еще одного года сумма 
будет больше суммы в (1 + ) раз, т. е. больше суммы S в 
раз. Через п лет сумма S: вырастет по отношению к сумме S в 
раз. Отсюда видно, что инфляционный рост суммы S при годовом уровне инфляции . - тоже самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке процентов ..
Разумеется, те же рассуждения применяются, если вместо года берется любой другой временной интервал (квартал, месяц, день и т. д.).
Если известен годовой уровень инфляции ., то за период в п лет (при том, чтo 
и - целое число лет, - оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции, очевидно, составит следующую величину:
В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции 
за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий т таких интервалов, индекс инфляции будет равен:
Теперь можно приложить изложенные выше варианты начисления процентов к условиям инфляционной экономики.
Если в обычном случае первоначальная сумма Р при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму S, то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму , что требует уже иной процентной ставки.
Назовем ее ставкой процентов, учитывающей инфляцию.
Пусть:
- ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;
- учетная ставка, учитывающая инфляцию;
номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляцию;
- номинальная сложная учетная ставка, учитывающая инфляцию.
Зададим годовой уровень инфляции и простую годовую ставку ссудного процента i Тогда для наращенной суммы S, превращающейся в условиях инфляции в сумму , используем формулу:
.
Для данной суммы можно записать еще одно соотношение:
а затем составить уравнение эквивалентности:
из которого следует, что
Мы получили, таким образом, известную формулу И. Фишера, в которой сумма 
является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь эта величина называется инфляционной премией.
Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период.
Для простых процентных ставок получаем:
в то же время должно выполняться равенство:
Составим уравнение эквивалентности:
из которого получаем:
Для простых учетных ставок аналогичное уравнение эквивалентности будет иметь вид:
, откуда 
Для случая сложных процентов используем формулы:
Отсюда 
Если начисление процентов происходит несколько (m) раз в году, используется следующая формула:
,
Отсюда
Таким же образом получаем две формулы для случаев сложных учетных ставок:
Используя полученные Формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить зависимость i от или любую другую. Например, из формулы можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процентов, учитывающая инфляцию:
Из Формулы - получаем аналогичную формулу для случая сложных процентов:
Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции выражение 
, получим простую формулу:
отражающую несколько очевидных соображений:
если 
(доходность вложений и уровень инфляции равны), то 
, т. е. весь доход поглощается инфляцией;
если 
(доходность вложений ниже уровня инфляции), то 
, то есть операция приносит убыток;
если 
(доходность вложений выше уровня инфляции), то 
, т.е. происходит реальный прирост вложенного капитала.