Фильтр Винера, фильтр Калмена, иерархический принцип управления в экономике и на производстве.
Фильтр Винера.
Инверсная фильтрация обладает низкой помехоустойчивостью, потому что этот метод не учитывает зашумленность наблюдаемого изображения. Значительно менее подвержен влиянию помех и сингулярностей, обусловленных нулями передаточной функции искажающей системы, фильтр Винера (смотри главу 3), т.к. при его синтезе наряду с видом ФРТ используется информация о спектральных плотностях мощности изображения и шума. При этом полагается, что изображение является реализацией случайного двумерного поля. Частотная характеристика восстанавливающего фильтра Винера, полученная для периодически продолженных изображений, с учетом имеет вид
, (1)
где 
, 
, 
- спектральные плотности мощности периодически продолженных шума, наблюдаемого и исходного изображений; 
- взаимная спектральная плотность мощности периодически продолженных исходного и наблюдаемого изображений; 
- символ комплексного сопряжения. Как и при инверсной фильтрации, обработка производится в частотной области.
Преобразуем передаточную функцию фильтра Винера (1) следующим образом:
(2)
Анализируя соотношения (1) и (2), можно отметить следующее:
1. При отсутствии шума фильтр Винера переходит в инверсный фильтр. Следовательно, в области низких частот, где, как правило, отношение сигнал/шум велико, передаточные функции инверсного и винеровского фильтров практически совпадают.
2. При уменьшении спектральной плотности мощности исходного изображения передаточная функция фильтра Винера стремится к нулю. Для изображений это характерно на верхних частотах.
|
|
3. На частотах, соответствующих нулям передаточной функции формирующей системы, передаточная функция фильтра Винера также равна нулю. Таким образом решается проблема сингулярности восстанавливающего фильтра.
На рис. 4.18 приведены одномерные сечения типичных передаточных функций винеровских фильтров (сплошная линия). Здесь же для сравнения приведены сечения передаточных функций инверсных фильтров, которые обозначены штриховой линией.
| 
|
| Рис.1 Частотный характеристики фильтра Винера при цилиндрической и гауссовской ФРТ |
Рассмотрим результаты моделирования винеровского алгоритма восстановления. На рис. 4.19.а и 4.21.а приведены результаты искажения изображений «Сатурн» и «Часы» сверткой с гауссовской ФРТ (
) с последующим «обрезанием» краев и добавлением аддитивного дельта-коррелированного шума (
). На рис. 4.20.а и 4.22.б приведены изображения, полученные в результате смаза (
) изображений «Сатурн» (рис. 4.6) и «Часы» (рис. 4.22.а) () также с последующим «обрезанием» краев и добавлением аддитивного дельта-коррелированного шума ().
А) Б)
Рис.2 Восстановление дефокусированного изображения “Сатурн” при
А) Б)
Рис.3 Восстановление смазанного изображения “Сатурн” при
Размеры всех наблюдаемых и восстановленных изображений равны 
элементов. Результаты восстановления винеровским фильтром изображения «Сатурн» (рис. 2б и рис.3б) свидетельствуют о том, что фильтр Винера значительно лучше подавляет шумы. Осциллирующая помеха на результатах восстановления изображения «Часы» (рис. 4.б и рис.5.в) вызвана краевыми эффектами. Очевидно, что ее уровень существенно меньше, чем при инверсной фильтрации. Однако винеровский фильтр лишь частично компенсирует краевые эффекты, которые делают качество восстановления неудовлетворительным.
|
|
А) Б)
Рис.4. Восстановление дефокусированного изображения “Часы” при
А) Б)
В)
Рис.5. Восстановление смазанного изображения “Часы” при
Таким образом, за счет использования информации о спектральных характеристиках изображения и шума, фильтр Винера обладает относительно высокой помехоустойчивостью и у него отсутствует сингулярность, обусловленная нулями передаточной функции формирующей системы. Основным недостатком фильтра Винера остается наличие краевых эффектов, которые проявляются в виде осциллирующей помехи, маскирующей восстановленное изображение.
https://sernam.ru/book_kir.php?id=34 Фильтр Винера
Фильтр Калмена.
Фи́льтр Ка́лмана — эффективный рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана.
Фильтр Калмана широко используется в инженерных и эконометрических приложениях: от радаров и систем технического зрения до оценок параметров макроэкономических моделей. Калмановская фильтрация является важной частью теории управления, играет большую роль в создании систем управления. Совместно с линейно-квадратичным регулятором фильтр Калмана позволяет решить задачу линейно-квадратичного гауссовского управления. Фильтр Калмана и линейно-квадратичны регулятор — возможное решение большинства фундаментальных задач в теории управления.
|
|
В большинстве приложений количество параметров, задающих состояние объекта, больше, чем количество наблюдаемых параметров, доступных для измерения. При помощи модели объекта по ряду доступных измерений фильтр Калмана позволяет получить оценку внутреннего состояния.
Фильтр Калмана предназначен для рекурсивного дооценивания вектора состояния априорно известной динамической системы, то есть для расчёта текущего состояния системы необходимо знать текущее измерение, а также предыдущее состояние самого фильтра. Таким образом, фильтр Калмана, как и множество других рекурсивных фильтров, реализован во временно́м, а не в частотном представлении.
Наглядный пример возможностей фильтра — получение точных, непрерывно обновляемых оценок положения и скорости некоторого объекта по результатам временно́го ряда неточных измерений его местоположения. Например, в радиолокации стоит задача сопровождения цели, определения её местоположения, скорости и ускорения, при этом результаты измерений поступают постепенно и сильно зашумлены. Фильтр Калмана использует вероятностную модель динамики цели, задающую тип вероятного движения объекта, что позволяет снизить воздействие шума и получить хорошие оценки положения объекта в настоящий, будущий или прошедший момент времени.
Фильтры Калмана базируются на дискредитированных по времени линейных динамических системах. Такие системы моделируются цепями Маркова при помощи линейных операторов и слагаемых с нормальным распределением. Состояние системы описывается вектором конечной размерности — вектором состояния. В каждый такт времени линейный оператор действует на вектор состояния и переводит его в другой вектор состояния (детерминированное изменение состояния), добавляется некоторый вектор нормального шума (случайные факторы) и в общем случае вектор управления, моделирующий воздействие системы управления. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог скрытым моделям Маркова, с тем отличием, что переменные, описывающие состояние системы, являются элементами бесконечного множества действительных чисел (в отличие от конечного множества пространства состояний в скрытых моделях Маркова). Кроме того, скрытые модели Маркова могут использовать произвольные распределения для последующих значений вектора состояния, в отличие от фильтра Калмана, использующего модель нормально распределенного шума. Существует строгая взаимосвязь между уравнениями фильтра Калмана и скрытой модели Маркова. Обзор этих и других моделей дан Roweis и Chahramani (1999).
При использовании фильтра Калмана для получения оценок вектора состояния процесса по серии зашумленных измерений необходимо представить модель данного процесса в соответствии со структурой фильтра — в виде матричного уравнения определенного типа. Для каждого такта k работы фильтра необходимо в соответствии с приведенным ниже описанием определить матрицы: эволюции процесса F k; матрицу наблюдений H k; ковариационную матрицу процесса Q k; ковариационную матрицу шума измерений R k; при наличии управляющих воздействий — матрицу их коэффициентов B k.
Иллюстрация работы фильтра. Квадратами помечены матрицы. Эллипсами помечены матрицы многомерных нормальных распределений (включая средние значения и ковариации). Не обведёнными оставлены векторы. В простейшем случае некоторые матрицы не изменяются во времени (не зависят от индекса k), но всё равно используются фильтром в каждый такт работы.
Модель системы/процесса подразумевает, что истинное состояние в момент k получается из истинного состояния в момент k −1 в соответствии с уравнением:
,
где
· F k — матрица эволюции процесса/системы, которая воздействует на вектор x k −1 (вектор состояния в момент k −1);
· B k — матрица управления, которая прикладывается к вектору управляющих воздействий u k;
· w k — нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Q k, который описывает случайный характер эволюции системы/процесса:
В момент k производится наблюдение (измерение) z k истинного вектора состояния x k, которые связаны между собой уравнением:
где H k — матрица измерений, связывающая истинный вектор состояния и вектор произведенных измерений, v k — белый гауссовский шум измерений с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей R k:
Начальное состояние и векторы случайных процессов на каждом такте { x 0, w 1, …, w k, v 1, …, v k } считаются независимыми.
Многие реальные динамические системы нельзя точно описать данной моделью. На практике неучтённая в модели динамика может серьёзно испортить рабочие характеристики фильтра, особенно при работе с неизвестным стохастическим сигналом на входе. Более того, неучтённая в модели динамика может сделать фильтр неустойчивым. С другой стороны, независимый белый шум в качестве сигнала не будет приводить к расхождению алгоритма. Задача отделения шумов измерений от неучтенной в модели динамики сложна, решается она с помощью теории робастых систем управления.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D1%80_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 Фильтр Калмена
Иерархический принцип управления в экономике и на производстве.
ИЕРАРХИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП УПРАВЛЕНИЯ- принцип организации и построения многоуровневых (многоступенчатых) систем управления (автоматизир. систем управления пр-тием, отраслью, самоорганизующихся систем, вычислит. систем и т. п.), при к-ром функции управления распределяются между соподчинёнными частями системы (подсистемами). При И. п. у. управляющие сигналы подсистемы высшего уровня поступают для управления подчинёнными подсистемами, и наоборот, - конкретные осведомит. и задающие сигналы низших уровней иерархии используются для формирования управляющих сигналов подсистем высшего уровня. В результате существенно уменьшаются потоки управляющей информации и сложность задач, решаемых каждым звеном управления.
https://dic.academic.ru/dic.nsf/polytechnic/3266/%D0%98%D0%95%D0%A0%D0%90%D0%A0%D0%A5%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%98%D0%99 ИЕРАРХИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП УПРАВЛЕНИЯ
Иерархический принцип - принцип построения сложных многоуровневых многомасштабных систем, при котором структуры низшего уровня организации являются структурными элементами для более высшего уровня.
Иерархический принцип распространяется и на технологические объекты. Иерархический принцип, объективно существующий в структуре управления ЕСГ, должен быть последовательно отражен при разработке математических и информационных моделей.
Иерархический принцип, во-первых, означает централизацию, линейную подчиненность низших звеньев системы высшим, особую форму разделения труда - не только по горизонтали, но и по вертикали, закрепление за людьми и подразделениями управленческих и исполнительских функций. Во-вторых, иерархия обусловливает личную зависимость одного человека от другого.
Иерархический принцип управления заключается в многоступенчатой организации процесса управления, где каждая ступень управления имеет свои объекты и цели управления. Обычно целью управления является достижение заданных технико-экономических показателей процесса. Ясно, что эти показатели зависят от технологического режима процесса. Технологический режим, при котором достигаются заданные показатели, называется оптимальным. Но, как указывалось, технологический режим изменяется под действием случайных возмущений и поэтому может существенно отклоняться от оптимального. Понятно, что любые отклонения технологического режима от оптимального только ухудшают его технико-экономические показатели. Следовательно, необходимо непрерывно поддерживать технологические параметры процесса как можно ближе к их оптимальным значениям.
https://www.ngpedia.ru/id320013p1.html Иерархический принцип