Лекция №3
Векторное произведение векторов.
Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника. Смешанное произведение векторов.
Геометрический смысл смешанного произведения. Объем тетраэдра
Определение 3.1. Векторным произведением двух неколлинеарных и ненулевых векторов и , взятых в определенном порядке, называется такой вектор , что:
1. ;
2. ;
3. - тройка положительно ориентирована и одинаково ориентирована с базисом, в котором она рассматривается.
Обозначается
Свойства векторного произведения.
1) Векторное произведение векторов и равно нулевому вектору, если один из векторов нулевой или векторы и коллинеарны: или
2) При перемене порядка сомножителей векторное произведение не меняет своего модуля, но меняет направление на противоположное:
3) Сочетательное свойство векторного произведения при умножении на скаляр выражается равенством:
4) Распределительное свойство векторного произведения выражается равенством:
5) Векторное произведение не изменится, если один из сомножителей, например, вектор заменить его проекцией вектором на прямую, лежащую в плоскости векторов и и перпендикулярную к :
Рассмотрим векторные произведения единичных векторов прямоугольной системы координат. На основании свойства 1 имеем: . Из определения векторного произведения следует, что .
Теорема 3.2. Если векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты , то вектор имеет координаты: .
Доказательство:
1. Разложим векторы и по векторам базиса :
, .
2. Составим векторное произведение:
[(), ()]
Пользуясь свойствами 2, 3, 4 векторного произведения, получим:
Последнее равенство можно записать в виде:
|
или
- координаты векторного произведения векторов и в положительно ориентированном базисе.
Координаты векторного произведения векторов и в отрицательно ориентированном базисе -
Геометрический смысл векторного произведения.
Теорема 3.3. Абсолютная величина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Доказательство:
1. По определению =
2. S параллелограмма =
Задача 2: Вычислить площадь и высоту параллелограмма построенного на векторах и
Задача.3: Найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин А(1, -2, 3), В(5, 0, -1), С(1, 0, 4)
Физический смысл векторного произведения векторов
Моментом силы относительно точки называется вектор , имеющий начало в точке , направленный перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой и вектором силы . Длина вектора равна произведению длины вектора на плечо ( - длина перпендикуляра, опущенного из точки на направление вектора ), или , где - радиус-вектор точки приложения силы . Иначе, .
Таким образом, вектор момента силы есть векторное произведение вектора силы и радиус-вектора точки приложения силы.
Определение 3.4. Смешанным (тройным) произведением некомпланарных векторов , взятых в определенном порядке, называется скалярное произведение вектора и вектора
Смешанное произведение в ортонормированном базисе.
Теорема 3.5. Если векторы , и в ортонормированном базисе имеют координаты , то смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: .
Доказательство.
|
1. Выразим координаты вектора в ортонормированном базисе.
По теореме 2.4 лекции 2 имеем: .
2. Выразим скалярное произведение векторов и в ортонормированном базисе: = = = .
3. Соберем правую часть равенства в определитель: . Перестановка двух любых строк определителя меняет его знак. Поменяв третью строку со второй, а затем новую вторую с первой, получим: .
Свойства смешанного произведения:
1) Если в смешанном произведении два любых вектора равны или коллинеарны, то оно равно нулю;
2) При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет знак:
3) При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется: ()= (доказательство вытекает из того, что перестановка двух любых строк определителя меняет его знак).
4) Распределительное свойство смешанного произведения:
5) Сочетательное свойство смешанного произведения при умножении на скаляр: