Физический смысл векторного произведения векторов





Лекция №3

Векторное произведение векторов.

Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника. Смешанное произведение векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения. Объем тетраэдра

Определение 3.1. Векторным произведением двух неколлинеарных и ненулевых векторов и , взятых в определенном порядке, называется такой вектор , что:

1. ;

2. ;

3. - тройка положительно ориентирована и одинаково ориентирована с базисом, в котором она рассматривается.

Обозначается

Свойства векторного произведения.

1) Векторное произведение векторов и равно нулевому вектору, если один из векторов нулевой или векторы и коллинеарны: или

2) При перемене порядка сомножителей векторное произведение не меняет своего модуля, но меняет направление на противоположное:

3) Сочетательное свойство векторного произведения при умножении на скаляр выражается равенством:

4) Распределительное свойство векторного произведения выражается равенством:

5) Векторное произведение не изменится, если один из сомножителей, например, вектор заменить его проекцией вектором на прямую, лежащую в плоскости векторов и и перпендикулярную к :

 

 

Рассмотрим векторные произведения единичных векторов прямоугольной системы координат. На основании свойства 1 имеем: . Из определения векторного произведения следует, что .

Теорема 3.2.Если векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты , то вектор имеет координаты: .

Доказательство:

1. Разложим векторы и по векторам базиса :

, .

2. Составим векторное произведение:

[( ), ( )]

Пользуясь свойствами 2, 3, 4 векторного произведения, получим:

Последнее равенство можно записать в виде:

или

- координаты векторного произведения векторов и в положительно ориентированном базисе.

Координаты векторного произведения векторов и в отрицательно ориентированном базисе -

Геометрический смысл векторного произведения.

Теорема 3.3.Абсолютная величина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство:

1. По определению =

2. S параллелограмма =

Задача 2: Вычислить площадь и высоту параллелограмма построенного на векторах и

Задача.3: Найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин А(1, -2, 3), В(5, 0, -1), С(1, 0, 4)


 

Физический смысл векторного произведения векторов

Моментом силы относительно точки называется вектор , имеющий начало в точке , направленный перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой и вектором силы . Длина вектора равна произведению длины вектора на плечо ( - длина перпендикуляра, опущенного из точки на направление вектора ), или , где - радиус-вектор точки приложения силы . Иначе, .

Таким образом, вектор момента силы есть векторное произведение вектора силы и радиус-вектора точки приложения силы.

Определение 3.4. Смешанным (тройным) произведением некомпланарных векторов , взятых в определенном порядке, называется скалярное произведение вектора и вектора

 

Смешанное произведение в ортонормированном базисе.

Теорема 3.5.Если векторы , и в ортонормированном базисе имеют координаты , то смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: .

Доказательство.

1. Выразим координаты вектора в ортонормированном базисе.

По теореме 2.4 лекции 2 имеем: .

2. Выразим скалярное произведение векторов и в ортонормированном базисе: = = = .

3. Соберем правую часть равенства в определитель: . Перестановка двух любых строк определителя меняет его знак. Поменяв третью строку со второй, а затем новую вторую с первой, получим: .

Свойства смешанного произведения:

1) Если в смешанном произведении два любых вектора равны или коллинеарны, то оно равно нулю;

2) При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет знак:

3) При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется: ( )= (доказательство вытекает из того, что перестановка двух любых строк определителя меняет его знак).

4) Распределительное свойство смешанного произведения:

5) Сочетательное свойство смешанного произведения при умножении на скаляр:





Читайте также:
Основные направления социальной политики: В Конституции Российской Федерации (ст. 7) характеризуется как...
Русский классицизм в XIX веке: Художественная культура XIX в. развивалась под воздействием ...
ТЕМА: Оборудование профилактического кабинета: При создании кабинетов профилактики в организованных...
Как оформить тьютора для ребенка законодательно: Условием успешного процесса адаптации ребенка может стать...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.015 с.