Задание 1.1. Выполнить действия над матрицами.
| Вариант | Задание | Вариант | Задание |
2(А + В)(2 В - А), где
|
(2 А - В)(3 А + В)-2 АВ, где
| ||
3 А - (А +2 В) В, где
|
(А + В) А - В (2 А +3 В), где
| ||
(А - В)2 А +2 В, где
|
А (2 А + В) - В (А - В), где
| ||
2(А -0,5 В)+ АВ, где
|
(A – B)(А + В) + 2 А, где
| ||
(А - В) А +3 В, где
| 2 АВ -(А + В)(А - В), где
|
Задание 1.2. Дана система линейных уравнений.
1. Решить систему по формулам Крамера;
2. Решить систему с помощью обратной матрицы.
| Вариант | Задание | Вариант | Задание |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Задание 1.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
| Вариант | Задание | Вариант | Задание |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Пример выполнения заданий по теме 1
Задание 1.1. Выполнить действия над матрицами: B· (A + 3 B) – A· (A – B), где
А = 
; B = 
.
Решение.
1). 3 B = 3 · = 
= 
.
2). A + 3 B = + = 
= 
.
3). B· (A + 3 B) = · =
= 
= = 
= 
.
4). A – B = – = 
= 
.
5). A· (A – B) = · = = 
=
= 
= 
.
6). B· (A + 3 B) – A· (A – B) = – = = 
= 
.
Ответ: B· (A + 3 B) – A· (A – B) =
Задание 1.2. Дана система линейных уравнений: 
1. Решить систему по формулам Крамера;
2. Решить систему с помощью обратной матрицы.
Решение.
1. Воспользуемся формулами Крамера: x 
= 
, где j = 1; 2; 3.
D = det A, а D j – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца j столбцом свободных членов. Тогда
D = 
= (5·2·2 + 1·3· (– 1) + (– 1) ·3·4) – (4·2·(–1) + 3·3·5 + 1· (–1) ·2) =
= (20 – 3 – 12) – (–8 + 45 – 2) = 5 – 35 = – 30;
D1 = 
= (0·2·2 + 14·3·(– 1) + (–1)·3·16) – (16·2·(–1) + 0·3·3 + 14 ×
× (–1) ·2) = (0 – 42 – 48) – (–32 + 0 – 28) = –90 – (– 60) = – 30;
D2 = 
= (5·14·2 + 1·16·(– 1) + 0·3·4) – (4·14·(–1) + 5·16·3 + 1·0·2) =
= (140 – 16 + 0) – (– 56 + 240 + 0) = 124 – 184 = – 60;
D3 = 
= (5·2·16 + 1·3·0 + (–1) ·14·4) – (0· 2·4 + 5·3·14 + 1· (– 1) ·16) =
= (160 + 0 – 56) – (0 + 210 – 16) = 104 – 194 = –90.
Тогда x 
= 
1, x 
= 
2, x 
= 
3.
Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.
2. Запишем матрицу системы A = 
, столбец неизвестных
X = 
, столбец свободных членов B = 
. Определитель матрицы A равен 
= – 30 
0. Тогда решение системы линейных уравнений определяется по формуле X = A 
·B. Для нахождения A воспользуемся формулой: A = 
. Для нахождения A 
cоставим для матрицы A транспонированную матрицу A 
= 
и найдем элементы союзной матрицы A , как алгебраические дополнения элементов матрицы A .
A 
= (–1) 
.
Тогда: A 
= (–1) 
M = 
= 2·2 – 3·3 = – 5,
A 
= (–1) 
M = – 
= –(–1·2 – (–1)·3) = – (– 2 + 3) = – 1,
A 
= (–1) 
M = 
= (–1)·3 – (–1)·2 = – 3 + 2 = – 1,
A 
= – 
= –(1·2 – 3·4) = – (2 – 12) = – (–10) = 10,
A 
= 
= 5·2 – 4·(–1) = 10 + 4 = 14,
A 
= – 
= –(5·3 – 1·(–1)) = – (15 + 1) = – 16,
A 
= 
= 1·3 – 2·4 = 3 – 8 = –5,
A 
= – 
= – (5·3 – 4·(–1)) = – (15 + 4) = –19,
A 
= 
= 5·2 – 1·(–1) = 10 + 1 = 11.
Тогда A -1 = = 
= 
;
Cделаем проверку:
A×A -1 = 
= = 
= E.
Найдем матрицу Х.
Х = = А-1В = × 
= 
.
Итак, решением системы будет x = 1; x = 2; x = 3.
Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.
Задание 1.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
x + 2 x - 3 x + x 
= - 4,
2 x + x - x - x = 1,
x - x + 2 x + 3 x = 5,
5 x + 2 x - 4 x + 2 x = - 3.
Решение.
I. Составим расширенную матрицу системы линейных уравнений:
Первую строку матрицы умножим на -2 и прибавим ко второй строке матрицы, также первую строку умножим на -1 и прибавим к третьей строке и умножив первую строку на -5 прибавим ее к четвертой строке. После этого все элементы первого столбца, кроме первого, окажутся равными нулю.
.
Четвертую строку умножим на -2 и сложим со второй строкой, умноженной на 5 (таким образом, мы получим на месте элемента a единицу).
.
Теперь умножим вторую строку сначала на 3 и сложим с третьей, а затем на 8 и сложим с четвертой.
.
Разделим все элементы четвертой строки на 5.
.
Переставим четвертую и третью строки местами.
Умножим третью строку на -2 и сложим с четвертой.
В результате мы получили треугольную основную матрицу системы линейных уравнений. Запишем соответствующую данной расширенной матрице систему линейных уравнений и решим ее.
II. x + 2 x - 3 x + x = - 4 ,
x + 3 x - 9 x = 11,
7 x - 15 x = 21,
5 x = 0.
Из последнего уравнения системы находим x = 0. Подставим x = 0 в третье уравнение и найдем x = 3. Подставим x = 0 и x = 3 во второе уравнение системы, получим: x + 3·3 - 9·0 = 11, из которого находим x = 2. Подставим x = 0, x = 3, x = 2 в первое уравнение системы, получим:
x + 2·2 - 3·3 + 0 = - 4, из которого получаем: x = 1.
Проверка. Подставим найденные значения x , x , x , x в исходную систему линейных уравнений:
1 + 2·2 – 3·3+ 0 = – 4, – 4 = – 4 – верно,
2·1 + 2 – 3 – 0 = 1, 1 = 1 – верно,
1 – 2 + 2·3 + 3·0 = 5, 5 = 5 – верно,
5·1 + 2·2 – 4·3 + 2·0 = – 3. – 3 = – 3 – верно.
Ответ: x = 1; x = 2; x = 3, x = 0.
Тема 2. Аналитическая геометрия