Задание 2.1. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами А (2; 1), В (-1; -1), С (3; 4)и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ.
Решение.
1. Найдем длину высоты AD в треугольнике, как расстояние от точки A до прямой BC. Для нахождения уравнения прямой ВС воспользуемся уравнением прямой проходящей через две точки: 
. Так как x 
= – 1, y = – 1, x 
= 3, y = 4, то получим 
, которое равносильно уравнению 4 y + 4 = 5 x + 5, из которого получаем общее уравнение прямой:
5 x – 4 y + 1 = 0. Так как расстояние от точки M (x 
, y ) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0находится по формуле 
, то AD = 
= 
.
2. Для нахождения уравнения перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB, воспользуемся условием перпендикулярности прямых на плоскости: l 
l 
k = – 
. Для нахождения составим уравнение прямой проходящей через две точки и преобразуем полученное уравнение к уравнению с угловым коэффициентом.
Так как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: , а А (2; 1), В (-1; -1), то имеем: x = 2, y = 1, x = –1, y = –1.
Тогда уравнение прямой AB будет: 
. Данное уравнение равно-сильно уравнению: – 3(y – 1) = – 2 (x – 2), которое преобразуем к виду
y = 
. Найдем из данного уравнения k = 
. Тогда угловой коэффициент прямой CK, перпендикулярной прямой AB будет равен k = – 
.
Для составления уравнения прямой CK воспользуемся уравнением прямой:
y – y = k (x – x ). Тогда уравнение прямой CK будет y – 4 = – (x – 3), которое будет равносильно уравнению 3 x + 2 y – 17 = 0.
Ответ: Длина высоты AD равна , уравнение перпендикуляра, опущен-ного из точки С на прямую АВ - прямой CK, будет иметь вид 3 x + 2 y – 17 = 0.
Задание 2.2. Определить тип кривых и построить их. Для эллипса, гиперболы найти полуоси, эксцентриситет, координаты фокусов; для параболы – параметр р и координаты фокуса, для окружности – координаты центра окружности и радиус окружности.
Решение.
1. (x + 2) 
+ (y – 4) = 9. Так как каноническое уравнение окружности имеет вид: (x - x ) + (y – y ) = R , то уравнение (x + 2) + (y – 4) = 9, которое сводится к уравнению (x – (–2)) + (y – 4) = 3 , определяет окружность с центром в точке O' (–2; 4) и R = 3. Изобразим ее.
2. 
. Так как каноническое уравнение эллипса имеет вид: 
, то преобразовав исходное уравнение к виду: 
, мыполучим уравнение эллипса с полуосями: a = 3, b = 4. Так как b > a 
, то фокусы данного эллипса находятся на оси OY. Изобразим данный эллипс.
Так как эксцентриситет эллипса с фокусами на оси ординат находится по формуле 
, где c = 
, то c = 
= 
и 
.
Координаты фокусов эллипса для случая b > a имеют вид F (0; – c), F (0; c), поэтому будут: F (0; – ), F (0; ).
3. 
. Так как каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 
(для случая, когда фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс) и 
(для случая, когда фокусы гиперболы расположены на оси ординат), то преобразовав исходное уравнение к виду: 
, мы получим уравнение гиперболы с полуосями: a = 2, b = 4 и фокусами, расположенными на оси ординат. Изобразим данную гиперболу.
Так как эксцентриситет гиперболы с фокусами на оси ординат находится по формуле , где c = 
, то c = 
= 
и 
.
Координаты фокусов гиперболы для случая 
имеют вид F (0; – c), F (0; c), поэтому будут: F (0; – 
), F (0; ).
4. y = - 8 x. Это уравнение параболы, каноническое уравнение которой имеет вид y = - 2 px. Парабола имеет вершину в точке О (0; 0) и располагается во второй и третьей четверти. Параметр параболы p = 4. Для уточнения вида параболы найдем координаты хотя бы одной точки. Если x = - 2, то y = 
4.
Тогда график параболы будет следующий:
Так как координаты фокуса для параболы, заданной уравнением y = - 2 px,
имеют вид F (
; 0), то для данной параболы координаты фокуса будут
F (- 2; 0).
Задание 2.3. Написать канонические уравнения прямой 
Решение.
Для нахождения канонического уравнения прямой, найдем координаты любых двух точек этой прямой.
1. Примем координату первой точки х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений, тогда получим:
, т.е. А (0, 2, 1).
2. Примем координату второй точки прямой z = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений, тогда получим:
, т.е. B (
). 3. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: 
. Подставим координаты точек A и B в данное уравнение: 
.
Ответ: 
Задание 2.4. Найти угол между плоскостью α: x + 2 y – z + 1 = 0 и прямой, проходящей через начало координат и точку М (2; 1; -2). Вычислить рассто-яние от точки М до плоскости α.
Решение.
1. Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью: sin 
= 
, где 
– нормальный вектор плоскости α, 
- направляющий вектор прямой. Для нахождения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: . Так как М (2; 1; -2), O (0; 0; 0), то уравнение прямой MO будет иметь вид: 
. Тогда 
. Так как уравнение плоскости α: x + 2 y – z + 1 = 0, то 
, поэтому
sin = = 
Значит, = arcsin 
.
2. Расстояние от точки M (x ; y ; z ) до плоскости α, заданной уравнением x + 2 y – z + 1 = 0 находится по формуле d = 
. Тогда
d = 
.
Ответ: = arcsin , d 
2,86.