Задание 4.1. Найти производные 
данных функций.
а) 
; б) 
Решение.
а) Для нахождения производной воспользуемся правилом нахождения производной частного 
и производной сложной функции:
y' = 
= 
=
= 
=
.
б) Для нахождения производной функции применим правила нахождения производной разности и производной частного, а также дважды применим правило нахождения производной сложной функции:
= 
= 
=
= 
Задание 4.2. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение.
При исследовании функции будем придерживаться следующей схемы:
1. Найдем область определения функции.
2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Исследуем функцию на четность и нечетность.
4. Найдем асимптоты графика функции.
5. Найдем y' и с помощью ее определим промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции.
6. Найдем y'' и с помощью ее определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
7. Используя пункты 1 – 6 данной схемы строим график функции, в случае затруднения берем несколько дополнительных точек.
1. Так как дробь 
определена при всех значениях x 
1, то областью определения функции будет D (f) = (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; +¥).
2. а) Найдем точки пересечения с осью абсцисс: y = 0, поэтому = 0, откуда x = 0. Таким образом, получаем точку пересечения с осью OX: точку O (0; 0).
б) Найдем точки пересечения с осью ординат: x = 0, тогда y = 
. В итоге получаем ту же точку O (0; 0).
3. Найдем y (- x) = 
= 
= – y (x), то есть функция является нечетной.
4. а) Найдем вертикальные асимптоты графика функции. Найдем 
= 
, 
= 
. Значит, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой графика функции .
Найдем 
= , 
= . Значит, прямая x = - 1 является вертикальной асимптотой графика функции .
б) Найдем горизонтальные асимптоты графика функции. Для этого найдем 
= 
= 
= 
= + 
. (При вычислении предела применили правило Лопиталя). Аналогично, 
= - .
Таким образом, горизонтальных асимптот график функции не имеет.
в) Найдем наклонные асимптоты графика функции. Так как наклонная асимптота имеет вид y = kx + b, то найдем k и b. k = 
= 
= 
= 
= 1. Аналогично, 
= 1. Таким образом, k = 1. b = 
(y – kx) = 
= 
= = 
= 
= 
= 
= 
= 0.
Значит, график функции имеет наклонную асимптоту y = x.
5. Найдем производную функции :
= 
.
Решая уравнение = 0, находим критические точки: x = 0; x = - 
; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
x < - , y ¢ > 0, функция возрастает
- < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает
-1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает
< x, y ¢ > 0, функция возрастает
Так как при переходе через точку х = - знак производной функции меняется с «плюса» на «минус», то точка х = - является точкой максимума. А так как при переходе через точку х = знак производной функции меняется с «минуса» на «плюс», то точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны: y 
= y (- ) = - 
-2,6, y 
= y () = -2,6.
Данные проведенного исследования можно кратко изобразить на следующей схеме:
6. Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость графика функции на промежутках:
x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая
1< x, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая
Таким образом, точка O (0; 0) – точка перегиба графика функции.
Данные проведенного исследования можно изобразить схематически:
7. Используя данные проведенного исследования, построим график функции. Для уточнения графика найдем несколько точек графика функции:
| x | 0,5 | ||
| y | -0,2
| 2,7
| 3,4
|
