Приведем другое решение. 10.В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 1 чёрная

Воспользуемся формулой разности квадратов:

 

10. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 1 чёрная, 9 жёлтых и 20 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение.

Вычислим вероятность, что приедет желтое такси:

 

Ответ: 0,3.

11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1)	2)
3)	4)

 

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

 

А	Б	В

 

Решение.

Напомним, что если прямая задана уравнением , то: при тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс положителен.

Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке А).

Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке −3. Ее график изображен на рисунке B).

Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке Б).

Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке −3. Такого графика на рисунках нет.

Тем самым, искомое соответствие: А — 1, Б — 3, В — 2.

 

Ответ: 132.

12. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω — угловая скорость (в с ⁻¹), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние R (в метрах), если угловая скорость равна 5,5 с⁻¹, а центростремительное ускорение равно 60,5 м/с².

Решение.

Выразим радиус из формулы для центростремительного ускорения:

Подставляя, получаем:

Ответ: 2.

13. Решите неравенство

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) (−4; +∞)

2) (−12; +∞)

3) (−∞; −4)

4) (−∞; −12)

Решение.

Последовательно получаем:

 

Правильный ответ указан под номером: 1.

14. Васе надо решить 245 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Решение.

В первый день Вася решил задач, в последний — задач. Всего надо решить задач. Поскольку , где имеем:

Тогда

задач.

 

Ответ: 59.

15. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма.

Решение.

Сумма односторонних углов в параллелограмме равна 180°, тогда искомый угол равен: 180° − 35° − 30°=115°.

 

Ответ: 115.

16. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 17°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

 

 

Ответ: 73

17. Средняя линия трапеции равна 11, а меньшее основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.

Решение.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Имеем:

 

 

Ответ: 17.

18. На рисунке изображена трапеция . Используя рисунок, найдите .

Решение.

Косинус угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Треугольник — прямоугольный, поэтому

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы :

 

 

Тогда

 

Ответ: 0,8.

19. Какие из следующих утверждений верны?

 

1) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.

4) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.» — неверно, площадь треугольника равна

2) «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.»— неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) «Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.» — верно, площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

4) «Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.» — верно, площадь треугольника равна

 

Ответ: 34.

20. Решите систему уравнений

Решение.

Последовательно получаем:

 

Ответ:

21. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 5 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на которое от пристани отплыл рыболов. Зная, что скорость течения реки — 2 км/ч, а скорость лодки — 5 км/ч, найдём, что время, за которое он проплыл туда и обратно, составляет Учитывая, что он был на стоянке 2 часа и вернулся через 5 часов после отплытия можно составить уравнение:

 

Отсюда S = 6,3 км.

 

Ответ: 6,3 км.

22. Постройте график функции и определите, при каких значениях построенный график не будет иметь общих точек с прямой .

Решение.

Преобразуем функцию: при и . График — прямая без двух точек и . Прямая не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при , и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если , а через вторую — если .

Ответ:

23. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение.

Пусть — данный четырёхугольник, — середина стороны — середина стороны — середина стороны — середина стороны . Проведём диагонали и и отрезки и , последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки и параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть .

Ответ: 6.

24. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Решение.

Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а точку пересечения высот через H. Тогда и Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.

25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть — центр окружности, вписанной в треугольник Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

 

 

Отрезки и равны как радиусы вписанной в треугольник окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы и равны, — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников и получаем а из равенства треугольников и — Площадь треугольника можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

 

 

Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны, следовательно, треугольники и равны. Поэтому площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

 

 

Площадь параллелограмма равна:

 

Ответ: 1008