Динамическая модель Леонтьева

Лекция №5

Динамические модели экономики — модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических моделей экономики; основанные на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей (напр., капитальных вложений и основных фондов, что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).

Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике.

Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

Межотраслевой анализ - это метод установления взаимосвязей между различными секторами сложной экономической системы. Экономическая система, для исследования которой он применяется, практически может быть столь большой, как народное хозяйство страны или даже вся мировая экономика, или малой, как одно предприятие. В любом случае подход один и тот же. Структура производственного процесса в каждом секторе представляется определенным вектором структурных коэффициентов, который количественно характеризует связь между затратами этого сектора и результатами его деятельности. Взаимозависимость между секторами экономики описывается системой линейных уравнений, выражающих балансы между совокупными затратами и агрегированным выпуском каждого продукта и услуг, производимых и используемых в течение одного или нескольких промежутков времени. Соответственно технологическая структура системы в целом может быть представлена матрицей технологических коэффициентов "затраты-выпуск" всех ее секторов. Таблица межотраслевого баланса (МОБ) описывает потоки товаров и услуг между всеми секторами экономики в течение фиксированного периода времени. При таком подходе рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта. Таким образом, под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, удовлетворяющих требованиям соответствия наличия ресурса и его использования. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо менее жестко - как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.

Статическая открытая модель схематически представляет собой наложенные крест-накрест две прямоугольные таблицы: таблицу затрат на производство продукции и таблицы распределения продукции на цели промежуточного и конечного потребления. Эта модель МОБ обладает рядом недостатков, из-за которых ее трудно использовать для прогнозирования на длительный период. Например, в модели предполагаются независимыми объемы инвестиций и объемы выпуска. Кроме того, предполагаются постоянными коэффициенты затрат. Чтобы избежать несоответствия, были разработаны динамические модели планирования, которые отличаются тем, что учитывают предыдущее развитие экономики, а не только фиксируют состояние на данный период.

Динамическая модель в отличие от статической отражает обратную связь между инвестициями, с одной стороны, и объемом прироста валовой продукции, с другой. Схематически это выражается в появлении дополнительной таблицы, отражающей связь между инвестициями и приростом валовой продукции по отраслям.

Принципиальная схема динамического межотраслевого баланса производства и распределения совокупного общественного продукта выглядит следующим образом:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовый продукт
Межотраслевые потоки текущих затрат	Межотраслевые потоки капитальных вложений
		…	n			…	n
	x11	x12	…	x1n	DФ11	DФ12		DФ1n	Y1^/	X1
	x21	x22	…	x2n	DФ21	DФ22		DФ2n	Y2^/	X2
	x31	x32	…	x3n	DФ31	DФ32		DФ3n	Y3^/	X3
...	...	...	…	...	...	...	…	...	...	...
n	xn1	xn2	…	xnn	DФn1	DФn2		DФnn	Yn^/	Xn
Амортизация	c1	c2	…	cn
Оплата труда	v1	v2	...	vn
Чистый доход	m1	m2	...	mn

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами xij совпадает с соответствующей матрицей статического баланса. Элементы второй матрицы Фij показывают, какое количество продукции i-ой отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств. В динамической схеме конечный продукт Yi^/ включает продукцию i-ой отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса:

(1)

Поэтому уравнение распределения продукции в динамическом балансе имеет вид:

(2)

Межотраслевые потоки текущих затрат можно выразить через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

x_ij=a_ij*X_j.

Если текущий период обозначить через t, то прирост продукции DXj равен разности абсолютных уровней производства в период t и в предшествующий (t-1) –й период: DXj=X_j^t-X_j⁽^t^-1).

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:

DФij=jij*DXj, i,j=1,n.

Откуда

jij =DФij /DXj.

Экономический смысл этих коэффициентов заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-ой отрасли должно быть вложено в j-ую отрасль для увеличения производственной мощности j-ой отрасли на единицу продукции. Коэффициенты jij называются коэффициентами вложений или коэффициентами приростной фондоемкости.

С помощью введенных коэффициентов систему (2) можно записать в виде:

(3)

Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева.

Если учесть, что все объемы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определен в соответствии с (t-1)-м периодом, можно записать следующие соотношения:

(4)

Переходя от дискретного анализа к непрерывному, для случая непрерывных изменений получим следующую систему соотношений:

(5)

Соотношения (5) представляют собой систему n линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Для ее решения помимо матриц коэффициентов прямых материальных затрат необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t=0 X(0) и закон изменения величины конечного продукта т. е. вид функции Y_i^’(t) для t = 1, 2, …, T. На основе этих данных путем решения получившейся задачи Коши для системы дифференциальных уравнений можно найти уровни валового X(t) на отрезке [0, T].

Представим (3) в матричном виде:

(4)

С экономической точки зрения соотношение (4) показывает разделение вектора валовых выпусков на три части:

1) - текущее производственное потребление, включая амортизацию;

2) - капитальные затраты на расширенное производство;

3) - конечное (непроизводственное) потребление.

Из (4) следует, что

(5)

Условием разрешимости уравнения (5) относительно вектора Х(t) является требование det (E − A − F) ≠ 0

Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,

учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:

(8)

(9) (10) (11)

Состояние экономики в году tхарактеризуется в динамике следующими переменными:

Х_t – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

v_t – вектор ввода отраслевых мощностей;

γ − диагональная матрица выбытия мощностей;

x_t – вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);

l_t =(l₁, l₂,..., l_n)_t - вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;

L_t – объем трудовых ресурсов в экономике.

Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году

(t = 1, 2, …, T). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║а_ij║ и матрицы

капиталоемкости прироста производственных мощностей F = ║ _ij║ могут

зависеть от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Y_t и числовая функция L_t. Решением модели являются векторы Х_t и x_t, удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).

Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта X_t должен

обеспечивать текущие производственные затраты AХ_t, затраты продукции на ввод производственных мощностей FV_t и на непроизводственное потребление Y_t. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами.

Задача на построение динамической модели Леонтьева

За отчетный период получены следующие данные о коэффициентах прямых материальных затратах , объемах конечного продукта , , , а также матрице коэффициентов вложений (приростной фондоемкости) . Определите вектор валового выпуска в момент времени t=2.