(2 семестр)
Номера даются по задачнику А.М. Зубкова,Б.А. Севастьянова и
В.П. Чистякова 1989 г. изд. (в скобках – по задачнику 1980 г. изд.)
1. Заполнить графу «Характеристическая функция» в Таблице.
2. Характеристическая функция случайной величины 
имеет вид:
; 
б) 
; в) 
.
Найти распределение 
и 
3. Характеристическая функция случайной величины 
имеет вид:
а) 
; б) 
.
Найти распределение 
и 
.
4‘. Функцией распределения случайной величины 
является канторова лестница. Найти характеристическую функцию 
.
5. Являются ли характеристическими следующие функции? (Если да - то для какой случайной величины, если нет - то почему?)
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) ‘ 
6. Величины 
независимы и имеют экспоненциальное распределение 
. Найти распределение и все моменты суммы 
7. Найти плотность распределения 
, удовлетворяющую уравнению 
.
8. № 4.157 (4.139)
9. № 4.132 (4.122)
10. Пусть 
- последовательность независимых случайных величин, имеющих распределение
Коши 
. Найти распределение величины 
.
11. Крутой стрелок попадает в мишень с любой руки с вероятностью 
, а чтобы определить, с какой руки стрелять, он бросает симметричную монету. Найти распределение числа выстрелов с
правой руки, если стрельба ведется до первого попадания.
12.‘ Пусть 
- последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных
величин и пусть 
. Доказать, что 
.
8
13. № 4.4 (4.4)
14. Применим ли закон больших чисел к последовательности независимых случайных величин таких, что 
, 
.
15. Пусть - последовательность независимых случайных величин, 
, 
Найти предельное распределение величин 
при 
. Как это согласуется с законом больших чисел?
16. Пусть 
- непрерывная ограниченная функция. С помощью закона больших чисел вычислить
.
17‘. Пусть - непрерывная ограниченная функция. Вычислить
. 
18. Пусть - последовательность независимых случайных величин, 
Применима ли к этой последовательности центральная предельная теорема?
19. В предположении, что размер одного шага пешехода равномерно распределен в интервале от 70 до 80 см и размеры шагов независимы, найти вероятность того, что он пройдет расстояние не меньшее 7.49 км и не большее 7.51 км, сделав 10000 шагов.
20. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.95, сумма выпавших очков превысила 400?
21. Пусть 
.С помощью центральной предельной теоремы доказать, что 
22. Вовочка пришел в тир, в котором за каждое попадание в цель выдают дополнительный патрон, а если число попаданий превысит 70, то еще и бюст любимого учителя математики. Вовочка с детства сильно мечтал о таком бюсте, поэтому он купил 100 патронов и стрелял до тех пор, пока все (и купленные и дополнительные) патроны не кончились. Найти вероятность осуществления Вовочкиной мечты, если в каждом выстреле он попадает с вероятностью 0.4.
23. С помощью центральной предельной теоремы найти 
где 
-целая часть x.
24‘. Вычислить 
.
25. Вычисление интеграла 
производится методом Монте-Карло. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.99, погрешность вычисления не превзошла 0.01?
26. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, 
а случайная величина 
не зависит от . Найти предельное распределение величин 
при 
27. Пусть 
- случайные числа, наудачу и независимо друг от друга выбранные из совокупности 
.
а) Пусть 
- число различных чисел среди первых n выбранных. Показать, что - цепь Маркова и дать классификацию состояний.
б) Пусть 
, если произведение 
оканчивается на цифру j. Показать, что 
- цепь Маркова и дать классификацию состояний.
28. Матрица вероятностей перехода за 1 шаг имеет вид:
а) 
б) 
в) 
Будут ли соответствующие цепи Маркова периодическими и, если да, то с каким периодом?
29. № 5.50 (5.1) 30. № 5.56 (нет)
31. № 5.75 (5.17) 32. № 5.62 (5.11)
33. Найти 
, если 
.
34‘. Простейшая модель естественного отбора. На изолированном острове численность некоторого вида не может превзойти N из-за ограниченности запасов пищи. Предположим, что рождается мутант с несколько лучшими данными для выживания и в каждом следующем поколении каждый мутант завоевывает себе место с вероятностью p>1/2 и теряет место с вероятностью q=1-p. Найти вероятность того, что когда-нибудь мутанты овладеют островом.
35. У однородной цепи Маркова 
Доказать существование
пределов 
и найти их.
36. У однородной цепи Маркова 
и 
При каких условиях существуют пределы ? Найти эти пределы.
37. Ливень космических частиц вызван попаданием в начальный момент времени в атмосферу одной частицы. Определить вероятность того, что в момент времени t будет n частиц, если каждая частица в промежутке времени 
с вероятностью 
может вызвать возникновение новой частицы и с вероятностью 
может исчезнуть.
38. Один рабочий обслуживает m автоматических станков, которые при нормальной работе не требуют его вмешательства. Остановки каждого станка вследствие неполадок образуют простейший поток с параметром 
, не зависящий от потоков неполадок других станков. Для устранения неполадки рабочий тратит случайное время, распределенное по показательному закону с параметром 
. Найти предельные (при 
) вероятности того, что k станков не работают (ремонтируются или ожидают ремонта) и математическое ожидание числа станков в очереди на ремонт.
39. Система обслуживания состоит из n аппаратов, каждый из которых обслуживает одновременно лишь одно требование. Время обслуживания является показательно распределенной случайной величиной с параметром . В систему поступает простейший поток требований с параметров 
Обслуживание начинается немедленно, если есть хотя бы один свободный аппарат. Если все аппараты заняты, а число требований в очереди на обслуживание менее m, то вновь поступившее требование становится в очередь; если же в очереди m требований, то это требование получает отказ.
Определить предельные значения:
а) вероятности того, что в системе обслуживания ровно k требований;
б) вероятности того, что вновь поступившее требование получит отказ;
в) вероятности того, что все обслуживающие аппараты будут заняты;
г) распределения времени ожидания начала обслуживания;
д) математическое ожидание числа требований, ожидающих начала обслуживания, числа требований, находящихся в системе обслуживания и числа свободных от обслуживания аппаратов.
40. Парикмахерская имеет трех мастеров, каждый из которых в среднем на обслуживание одного клиента тратит 10 минут (время обслуживания имеет показательное распределение). Клиенты образуют простейший поток, со средним числом поступлений 12 человек в час. Клиенты становятся в очередь, если к моменту их прихода в очереди менее трех человек, в противном случае они покидают парикмахерскую.
Определить предельные значения:
а) вероятности отсутствия клиентов в парикмахерской;
б) вероятности того, что клиент покинет парикмахерскую необслуженным;
в) вероятности того, что все мастера будут заняты работой;
г) средне число клиентов в очереди и среднее число клиентов в парикмахерской.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
и 
.
Примечание. Знаком ‘ отмечены призовые задачи.