Уравнения (законы сохранения) для многофазной и/или многокомпонентной сплошной среды

Лекция 2

Основные законы МСС

- Законы сохранения, 2-й закон термодинамики, уравнения Максвелла

- Определяющие соотношения: закон Фика, реологические соотношения (т.е. соотношения между деформацией и напряжением).

Тензоры напряжений и деформаций

В двумерных и трехмерных задачах деформации и напряжения в сплошной среде описываются тензорами.

Тензор напряжений s_ij - сила, действующая в направлении j на единичную площадку, перпендикулярную оси i.

Тензор напряжений – симметричный.

Пусть u_i является проекцией на ось i перемещения материальной точки с исходным координатным вектором x:

u_i =x’_i -x_i.

Тензор деформаций определяется следующим образом:

u_ij = ½ (∂u_i/∂x_j+ ∂u_j/∂x_i+ ∂u_k/∂x_i∂u_k/∂x_j)

Расстояние между бесконечно близкими точками dl изменяется:

dl'² = dl² + 2u_ikdx_idx_k

Тензор деформаций u_ij является симметричным: u_ij = u_ji.

Значения его компонент зависят от системы отсчета. Но есть комбинации компонент – инварианты тензора, которые не зависят от системы отсчета.

Первый инвариант тензора деформации I₁ = относительное изменение объема dV/V.

I₁ = ∑ u_ii

Здесь, как обычно при обращении с тензорами, предполагается суммирование по повторяющемуся индексу.

Реологические определяющие соотношения – это соотношения между компонентами u_ij и их производными и s_ij и их производными.

Для многих сред в реологических соотношениях присутствует

тензор скоростей деформаций

e_ij = ∂u_ij/∂t

Классификация сплошных сред

жидкости s_ij = - P_ii g_ij + τ_ij

Здесь g_ij – метрический тензор (единичный тензор для прямоугольной декартовой системы координат), P_ii - давление, τ_ij - тензор сдвиговых напряжений.

Ньютоновская жидкость τ_ij = 2η e_ij

η – коэффициент динамической вязкости

коэффициент кинематической вязкости , где - плотность жидкости.

Рассмотрим одномерное течение Куэтта - в плоскости происходит течение, при котором скорости частиц жидкости направлены вдоль оси и пропорциональны координате .