Описанные окружности
Задание 6 № 27868
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1: 3: 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда
Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.
Ответ: 100.
Задание 6 № 27871
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому
Ответ: 122.
Задание 6 № 27872
Стороны четырехугольника 
, 
, 
и 
стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 
, 
, 
, 
Найдите угол 
этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение.
вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит
Ответ: 108.
Задание 6 № 27873
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4: 2: 3: 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть дуга AB равна 4 x, тогда
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,
Ответ: 60.
Задание 6 № 27874
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,
Ответ: 70.
Задание 6 № 27875
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение.
вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,
Ответ: 110.
Задание 6 № 27876
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,
Ответ: 40.
Задание 6 № 27892
Сторона правильного треугольника равна 
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда
Ответ: 1.
Задание 6 № 27893
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.
Решение.
Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда
Ответ: 3.
Задание 6 № 27894
Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Треугольник 
правильный, значит, все углы равны по 
По теореме синусов имеем:
Ответ: 2.
Приведём другое решение.
В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен двум третим высоты. Поэтому он равен 2.
Задание 6 № 27895
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение.
треугольник ABC правильный, значит, все углы равны по 60°.
Ответ: 4,5.
Задание 6 № 27896
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
вписанный угол опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, 
– диаметр.
Ответ: 6.
Задание 6 № 27897
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, AB — диаметр.
Ответ: 8.
Задание 6 № 27898
В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Поэтому
Ответ: 2,5.
Задание 6 № 27900
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Решение.
Сумма двух равных углов при основании треугольника равна 60°, поэтому каждый из них равен 30°. Тогда по теореме синусов
Ответ: 2.
Задание 6 № 27906
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Решение.
Заметим, что 
Значит, треугольник AOB — равносторонний. Тогда
Ответ: 6.
Задание 6 № 27918
Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
По теореме синусов имеем:
Ответ: 1.
Задание 6 № 27919
Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах
Решение.
По теореме синусов
тогда
Ответ: 30.
Задание 6 № 27920
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.
Решение.
По теореме синусов:
Ответ: 3.
Задание 6 № 27921
Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Используем теорему синусов:
Ответ: 1.
Задание 6 № 27923
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
Для нахождения площади треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:
Далее по формуле 
Ответ: 25.
Задание 6 № 27924
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение.
Трапеция ABCD — равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.
Ответ: 6.
Задание 6 № 27925
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника 
Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
откуда 
Тогда по теореме синусов:
Ответ: 6.
Приведем другое решение (Р. А., СПб.).
Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.
Задание 6 № 27926
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Решение.
Высота трапеции 
где KO и OH — высоты равнобедренных треугольников DOC и AOB. По теореме Пифагора:
Тогда 
Ответ: 7.
Задание 6 № 27927
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 58° = 122°.
Ответ: 122.
Задание 6 № 27929
Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение.
Найдем сторону шестиугольника: 72: 6 = 12.
Рассмотрим треугольник AOB. Радиус описанной вокруг шестиугольника окружности равен его стороне, а диаметр вдвое больше. Поэтому он равен 24.
Ответ: 24.
Задание 6 № 27930
Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите n.
Решение.
Сумма углов n -угольника равна 180°(n − 2). Каждый из них равен 108°, поэтому, с другой стороны, эта сумма равна 108° n. Решим уравнение 180°(n − 2) = 108° n. Получим 72° n = 360°, откуда n = 5.
Приведём другое решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, где А и B — соседние вершины многоугольника, О — центр окружности (см. рис.). Углы при основании треугольника равны равны 54°, следовательно, угол при вершине равен 72°. Тогда n = 360°: 72° = 5.
Ответ: 5.