Лекция 3
Вероятность гипотез. Формула Байеса
Формула Байеса предназначена для вычисления апостериорных вероятностей гипотез (после проведения опыта), с учётом имеющейся информации о вероятности априорных гипотез (до опыта).
Если в результате испытания событие 
произошло, то условная вероятность гипотезы 
при условии, что событие произошло, вычисляется по формуле Байеса:
Пример 1. Рассмотрим приведенную на прошлой лекции задачу об электролампах: В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода 25%, второго завода – 35% и третьего – 40%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 4%. Покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Изменим вопрос задачи. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на первом заводе.
Решение. Выпишем формулу Байеса для этого случая
.
Пример 2. Студент приходит в медпункт и жалуется на плохое самочувствие, хотя по виду этого не скажешь. У медсестры две гипотезы Н 1 – он действительно болен, Н 2 – он здоров, но хочет получить справку, например, для продления сессии. По внешнему виду она оценивает априорные вероятности Р (Н 1) = 0,3, Р (Н 2) = 0,7 и ставит ему градусник. Измеренная температура оказалась 37,5 (событие А). Оценить апостериорную вероятность первой гипотезы.
Решение. Предположим, 
(не при всякой болезни повышается температура), 
(у некоторых здоровых людей нормальная температура немного повышена или студент мог незаметно натереть градусник). Теперь апостериорная вероятность того, что студент болен:
и у медсестры есть все основания направить студента к врачу.
Пример 3. Два зенитных орудия независимо стреляют по одному разу по самолету. Вероятности попадания соответственно равны 
=0,8 и 
=0,9. Вероятность разрушения самолета при одном попадании равна 
=0,6. Найти вероятность того, что: а) самолет будет разрушен;
Решение. Выдвигаем следующие гипотезы и вычисляем их вероятности:
попало только 1-е орудие (при этом второе не попало). 
.
попало только 2-е орудие (при этом первое не попало). 
.
попали оба орудия. 
не попало ни одно из орудий. 
Здесь мы учли независимость попаданий и промахов разных орудий. Сумма вероятностей всех гипотез должна равняться единице. Проверим это условие 0,08+0,18+0,72+0,02=1.
Теперь необходимо вычислить условные вероятности разрушения самолета при соответствующих гипотезах:
Очевидно, что первые две гипотезы имеют одинаковую вероятность
Для третьей гипотезы воспользуемся формулой для суммы двух совместных событий.
Вероятность четвертой гипотезы равна нулю 
Найдем полную вероятность разрушения самолета:
.
б) Найти вероятность того, что разрушение самолета произошло в результате попадания двух снарядов.
Решение. Вероятность того, что разрушение самолета произошло в результате попадания двух снарядов (третья гипотеза), по формуле Байеса равна:
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью 
, а неудача – с вероятностью 
.
Если проводятся 
независимых испытаний с постоянной вероятностью p события в каждом испытании, то вероятность появления события в этих испытаниях ровно 
раз вычисляется по формуле Бернулли:
где 
число сочетаний из по .
Вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит:
а) менее раз 
;
б) не более раз 
;
в) более раз 
;
г) не менее раз 
.
Пример 4. Отдел технического контроля проверяет партию товара и отбирает бракованные изделия. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется бракованным 0,05. Найти вероятность того, что из 10 проверенных изделий будет только три бракованных.
Решение: Положим 
, 
, 
. По формуле Бернулли
Пример 5. Автобус проходит мимо остановки «по требованию» 5 раз в день. Вероятность остановки в течение дня одинакова и равна 
.
а) Найти вероятность того, что за день автобус остановится 2 раза.
Решение 
б) Найти вероятность того, что автобус остановится не более двух раз.
Решение 
Здесь мы воспользовались теоремой сложения несовместных событий.
В результате получим: 
.
Примечание: Событие «не более двух раз» противоположно событию более двух раз. В некоторых случаях удобнее вычислять подобные задачи через обратные события. В этой задаче: 
Поэтому вычислять через обратное событие нецелесообразно.