Оценки числовых характеристик случайной величины

Лекция 6

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k:

Тема 5, зад.1

Пример 1. Случайная величина имеет закон распределения:

. Найти начальные моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Решение: ;

;

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины :

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии.

Тема 5, зад.2

Пример 2. Случайная величина имеет закон распределения:

Найти центральные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков.

Решение: . Мат. ожидание посчитано выше .

Элементы математической статистики

Выборкой в математической статистике называется множество независимых одинаково распределенных случайных величин. Число реализаций в выборке (число повторных испытаний) N называется объемом выборки. Выборка подобна генеральной совокупности, из которой она извлечена.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных (мыслимых) значений случайной величины.

Рассмотрим выборку Х= x ₁, x ₂ ,... x_n. Разобьем весь диапазон возможных значений случайной величины на d одинаковых участков. Ориентировочно, количество этих участков может быть определено по приближенной формуле:

(формула не является обязательной).

Значение на правой границе каждого участка находим как:

где i – номер участка; x _max, x _min – соответственно максимальное и минимальное значение случайной величины в выборке. Правая граница і -го участка вместе с тем есть левой границей (i +1)-го участка. Левая граница для 1-го участка – это x _min. А правая граница последнего участка – это x _max.

Количество значений случайной величины, которые попали в тот или другой участок обозначим К_і. Это число называется «частотой». «Относительной частотой» называется число . Соответствие между значениями частоты (относительной частоты) и диапазоном значений случайной величины называется «гистограммой».

Оценки числовых характеристик случайной величины

Оценкой будем называть найденное по выборке число, которое в последующем используется вместо оцениваемого параметра. Настоящие моменты можно определить только проведя вычисление тысяч и тысяч значений случайной величины. Оценочные характеристики будем записывать с тремя чёрточками, чтобы подчеркнуть, что это не их точное значение, а только оценка.

– Оценка математического ожидания – это начальный момент первого порядка: .

– Оценка дисперсии – центральный момент второго порядка, но с поправкой :

– Оценка среднего квадратичного отклонения: .

Мерой относительного отклонения значений случайной величины относительно оценки среднего значения служит вариация и коэффициент вариации .

Мерой взаимной связи двух разных случайных величин служит корреляционный момент (этот параметр называется ещё ковариация), которая рассчитывается по выборкам:

где X, Y – соответственно первая и вторая случайные величины, а , – их математические ожидания.

Чем большая корреляционный момент – тем большая связь этих случайных величин между собою.

Для приведения разных корреляционных моментов к одному масштабу, находится коэффициент корреляции (или просто корреляция):

где – оценки средних квадратичных отклонений для случайных величин X и Y. Благодаря такому преобразованию коэффициент корреляции изменяется в диапазоне [–1,1]. Когда он равняется нулю, это означает, что связи между этими случайными величинами нет, а когда равняется 1 (или –1), это означает что эти случайные величины связаны между собою линейным соотношением вида Y = A×X + B. Здесь А и В – константы соотношения.

Доверительный интервал

Представление о том, как далеко от оценок мат. ожидания, дисперсии и ср. кв. отклонения может находиться оцениваемый параметр, дают интервальные доверительные оценки.

Доверительным называется такой интервал, который в последующих испытаниях будет включать в себя (накрывать) оцениваемый параметр с заданной доверительной вероятностью – . Уровень значимости, используемый в электронных таблицах Microsoft Excel будет найден как .

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

или ,

где – половина доверительного интервала.

Величина доверительного интервала равняется . Такой интервал называется нормальным доверительным интервалом.

Значение для половины доверительного интервала находим:

– для математического ожидания: ;

– для дисперсии: ,

где z – обратное значение функции Лапласа, то есть такое значение аргумента (квантиля), при котором функция Лапласа (прил. 2) равняется .

Пример 3. В результате семи независимых измерений некоторой физической величины, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные: 15, 2, 17, 21, 7, 13, 29. Построить гистограмму и оценить математическое ожидание с доверительной вероятностью . Найти доверительный интервал для математического ожидания и для дисперсии.

Решение: x _min=2, x _max=29. Количество участков разбивки:

Принимаем . Находим значение случайной величины на правой границе каждого из четырёх участков по формуле: .

, ,

, .

Находим К_і, .

Сводим все значения в таблицу и строим гистограмму.

№	Границы участка	Частота, K _i	Относительная частота, k _i
	2 £ x < 9		0,286
	9 £ x < 16		0,286
	16 £ x < 22		0,286
	22 £ x £ 29		0,142