Лабораторная работа 6
Приближение функций
При решении ряда задач требуется восстановить функцию y=f(x) для произвольного значения x на отрезке [a,b], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка (найденных, например, математически или в результате каких-либо наблюдений в результате эксперимента).
Данная задача решается путем аппроксимации.
Слово «аппроксимация » означает «приближение».
Пусть известные значения некоторой функции y=f(x) образуют на отрезке [ a,b ] следующую табличную функцию:
| 
| 
| ... | 
|
| 
| 
| ... | 
|
где 
.
Требуется построить интерполянту - функцию F(x), совпадающую с f(x) в точках xi:
Кривая, которая точно проходит через эти узлы, называется интерполяционной кривой (функцией-интерполянтой).
Нахождение функции-интерполянты F(x) называют интерполяцией, интерполяцией также называется отыскание промежуточного значения функции на отрезке [ х0, хN ].
Точки x0, x1,..., xN называют узлами интерполяции.
Величины 
называют шагами табличной функции.
Если функция определена и непрерывна на [ y1, y2 ],ее интерполяционные узлы расположены на [ х 1, х 2], а точка x Ï [ х 1, х 2] или f (x)Ï [ y 1, y 2],то тогда говорят о задаче экстраполирования функции.
Основная цель интерполяции - получить быстрый алгоритм вычисления значений F(x) для x Î[ a,b ], не содержащихся в таблице.
Кубическим сплайном называется функция g(x), обладающая следующими свойствами:
1) g(x) Î C2 [ a,b ]
2) на любом отрезке 
функция g(x) является полиномом третьей степени,
3) 
4) g''(a)=g''(b)=0.
Интерполяция с помощью полинома в форме Лагранжа
Найти значение функции 
в точке 
, 
, если известны значения 
, 
.
Итерационная схема Эйткена
Построения интерполяционного полинома в форме Лагранжа
Найти значение функции в точке , , если известны значения , .
Первая интерполяционная формула Ньютона
Найти значение функции в точке , , если функция задана в равноотстоящих узлах: т.е. известны значения , 
, .
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Найти значение функции в точке , , если функция задана в равноотстоящих узлах: т.е. известны значения , , 
.
Сплайн-интерполяция
Построить кубический сплайн
функции , 
, если функция задана в узлах 
: 
, 
.
Построение приближения функции
По методу наименьших квадратов
Найти коэффициенты многочлена 
, являющимся многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции , для которой известны значения 
, .
Дискретное преобразование Фурье
Найти значение функции 
в точке 
, если функция задана в n равноотстоящих узлах: т.е. известны значения 
, 
, 
.
Выполнить и оформить в виде отчета следующее задание:
Некоторая функция задана таблицей значений на отрезке 
в точках 
.
1. Реализовать в виде отдельной процедуры вычисление приближенного значения функции в промежуточных точках отрезка 
с помощью следующих методов (в соответствии с номером варианта):
1) интерполяционный полином Лагранжа.
2) интерполяционный полинома Ньютона (первая формула Ньютона).
3) интерполяция кубическим сплайном. Вывести в виде таблицы коэффициенты уравнений сплайнов для каждого отрезка 
.
4) метод наименьших квадратов.
5) дискретное преобразование Фурье.
2. Построить графики найденных интерполирующих функций по точкам отрезка 
с шагом 
.
3. Сравнить точность приближения функции различными методами.
Варианты:
Функция задана в виде таблицы значений:
| i | ||||||||||||
| x | -6 | -4,6 | -3,2 | -1,8 | -0,4 | 2,4 | 3,8 | 5,2 | 6,6 | |||
| y | -554 | -255 | -100 | -750 | -651 | |||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,9 | -4,5 | -3,1 | -1,7 | -0,3 | 1,1 | 2,5 | 3,9 | 5,3 | 6,7 | 8,1 | |
| y | -437 | -190 | -100 | -818 | -515 | |||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,8 | -4,4 | -3 | -1,6 | -0,2 | 1,2 | 2,6 | 5,4 | 6,8 | 8,2 | ||
| y | -322 | -127 | -100 | -880 | -361 | |||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,7 | -4,3 | -2,9 | -1,5 | -0,1 | 1,3 | 2,7 | 4,1 | 5,5 | 6,9 | 8,3 | |
| y | -212 | -69 | -100 | -936 | -190 | |||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,6 | -4,2 | -2,8 | -1,4 | 1,4 | 2,8 | 4,2 | 5,6 | 8,4 | |||
| y | -106 | -14 | -100 | -54 | -983 | -3 | ||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,5 | -4,1 | -2,7 | -1,3 | 0,1 | 1,5 | 2,9 | 4,3 | 5,7 | 7,1 | 8,5 | |
| y | -7 | -100 | -112 | -1020 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,4 | -4 | -2,6 | -1,2 | 0,2 | 1,6 | 4,4 | 5,8 | 7,2 | 8,6 | ||
| y | -100 | -174 | -1045 | |||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,3 | -3,9 | -2,5 | -1,1 | 0,3 | 1,7 | 3,1 | 4,5 | 5,9 | 7,3 | 8,7 | |
| y | -100 | -240 | -1057 | |||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,2 | -3,8 | -2,4 | -1 | 0,4 | 1,8 | 3,2 | 4,6 | 7,4 | 8,8 | ||
| y | -100 | -309 | -1053 | -29 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5,1 | -3,7 | -2,3 | -0,9 | 0,5 | 1,9 | 3,3 | 4,7 | 6,1 | 7,5 | 8,9 | |
| y | -100 | -381 | -1033 | -693 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -5 | -3,6 | -2,2 | -0,8 | 0,6 | 3,4 | 4,8 | 6,2 | 7,6 | |||
| y | -100 | -455 | -995 | -1478 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -4,9 | -3,5 | -2,1 | -0,7 | 0,7 | 2,1 | 3,5 | 4,9 | 6,3 | 7,7 | 9,1 | |
| y | -100 | -530 | -939 | -2387 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -4,8 | -3,4 | -2 | -0,6 | 0,8 | 2,2 | 3,6 | 6,4 | 7,8 | 9,2 | ||
| y | -101 | -604 | -863 | -3424 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -4,7 | -3,3 | -1,9 | -0,5 | 0,9 | 2,3 | 3,7 | 5,1 | 6,5 | 7,9 | 9,3 | |
| y | -101 | -678 | -767 | -4592 | ||||||||
| i | ||||||||||||
| x | -4,6 | -3,2 | -1,8 | -0,4 | 2,4 | 3,8 | 5,2 | 6,6 | 9,4 | |||
| y | -101 | -750 | -651 | -5888 |