Векторная алгебра
Обозначения: 
{ ax, ay,az }, 
{ ax, ay,az }; 
, 
- модуль вектора (длина отрезка AB); ax, ay,az координаты вектора (проекции вектора на оси координат). Точки А(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB)
| Выражение координат вектора через координаты его начала и конца
{ xB-xA,yB –yA,zB –zA }
| Условие коллинеарности векторов
 =k
k>0   ; k<0 
|
Основное свойство направляющих косинусов:
| = 
|
Обозначим a,β, 
- углы, которые вектор составляет с осями координат OX, OY и OZ соответственно, cos a, cos β и cos называются направляющими косинусами вектора.
cos a= 
; cos β = 
; cos = 
;
Линейные операции
1. = 
2. 
{0,0,0} 3. 
± ={ ax± bx, ay± by, az ±bz }
4. =k (kax,kay,kaz)
Скалярное произведение векторов ( )
Определение: =  , где  - угол между и
Замечание:  ×  = ×
| Вычисление:
= 
| Условие перпендикулярности векторов: × = 0 ^
|
|
Векторное произведение (
)
Определение Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор , определяемый следующими тремя условиями:
1) 
, где 
- угол между векторами и .
Отсюда следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
2) Вектор 
перпендикулярен к каждому из векторов и (
; 
), т.е. перпендикулярен плоскости параллелограмма, построенного на векторах и .
3) Вектор направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от вектора к вектору был бы против часовой стрелки (векторы , , образуют правую тройку).
Вычисление:
| Cвойства
1)  2)  .
| Площадь параллелограмма, построенного на векторах
и как на сторонах
S= 
|
Смешанное произведение векторов ( 
)
Определение
Замечание: 
| Вычисление:
= 
| Объем параллелепипеда, построенного на векторах
, и  как на сторонах
V= 
|
Условие компланарности векторов: , и компланарны 
|
Cвойства смешанного произведения
|
|
1) если в смешанном произведении перемножаемые векторы переставить в круговом порядке, то произведение не изменится:
.
2)если в смешанном произведении поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, то произведение не изменится:
.
Это свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде 
без знаков векторного и скалярного умножения.
3)перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменит лишь его знак:
Свойства скалярного произведения:
1) × = ï ï2;
2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.
3) × = × ;
4) ×( + 
) = × + × ;
5) (m )× = ×(m ) = m( × ); m=const
Определение
Вычисление:
|
|
Свойства векторного произведения векторов.
1) Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.
 .
2) Антикоммутативность: .
3) Ассоциативность относительно скалярного множителя:
( ).
4) Дистрибутивность:  .
|
Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.
Пусть даны векторы 
и 
, тогда
.
Если рассматривать векторы 
в декартовой прямоугольной системе координат, то
× = xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если 
10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 
,
т.к. 
.
Пример. Найти угол между векторами и , если 
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
× = 6 + 8 – 6 = 8:
1.
2.
3. 
| a) скалярное произведение векторов
{ ax, ay,az} и {bx,by,bz}
б) векторное произведение векторов
{ ax, ay,az} и {bx,by,bz}
в) смешанное произведение векторов
{ ax, ay,az}, {bx,by,bz} и {cx,cy,cz}
|
|
|
Укажите соответствие между вариантами взаимного расположения векторов и условиями, определяющими их выполнение
| Условия | Варианты расположения |
1. 
2. 
3.
| а) векторы коллинеарны б) векторы перпендикулярны в) векторы компланарны |
|