Задание 2
Нелинейное программирование
Задача называется задачей нелинейного программирования, если её математическая модель имеет вид
в которой среди 
или 
есть нелинейные функции.
В отличие от задач линейного программирования не существует единого метода для решения задач нелинейного программирования.
Решение задач нелинейного программирования методом Лагранжа
Метод Лагранжа заключается в выполнении следующих действий.
1. Если в системе ограничений встречаются неравенства, то, вводя дополнительные переменные, преобразовать неравенства в равенства.
2. Для заданной системы ограничений и целевой функции составить функцию Лагранжа:
где 
есть неопределённые коэффициенты[1].
3. Приравнять к нулю все частные производные первого порядка функции L, и получить систему уравнений (в общем случае нелинейных уравнений):
4. Решить полученную систему и, тем самым, найти все стационарные точки 
функции , то есть такие точки, в которых функция может иметь экстремумы (минимумы или максимумы).
5. Исследовать каждую точку на наличие в ней экстремума функции , применяя следующую теорему:
если функция дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки S = , причём все её вторые производные в этой окрестности непрерывны, то функция имеет в точке S:
минимум, если все числа D1, D2, …, Dn являются положительными,
максимум, если знаки чисел D1, D2, …, Dn чередуются, начиная с минуса,
где
Если же числа Di не являются положительными или их знаки не чередуются, то вопрос о наличии экстремума функции в стационарной точке остаётся открытым и требует дополнительных исследований.
Пример. Решить методом Лагранжа следующую задачу нелинейного программирования:
Решение.
1. Объявляем целевую функцию f и функцию Лагранжа L:
2. Находим стационарные точки:
а) объявляем все частные производные первого порядка функции L:
| объявление производной | результат |
| 
|
| 
|
| 
|
б) приравниваем к нулю все частные производные первого порядка функции Лагранжа L и получаем систему, которую
Таким образом, функция f имеет одну стационарную точку (91, 89).
3. Для каждой стационарной точки проверяем наличие у функции f минимума или максимума. Для этого:
а) объявляем все производные второго порядка целевой функции f:
| объявление производной | результат |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
б) вычисляем значения всех производных второго порядка функции f в каждой стационарной точке:
в) вычисляем значения членов последовательности
Так числа D1, D2 положительны, то функция f в точке (91, 89) имеет минимум, равный
Ответ. Функция 
при условии 
имеет минимум 17278, который достигается при x1 = 91, x2 = 89.
Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel
Задачи нелинейного программирования в Microsoft Excel решаются так же как и задачи линейного программирования (см. 1.2), с той лишь разницей, что в окне "Параметры поиска решения" необходимо сбросить флаги "Линейная модель" и, если это необходимо, "Неотрицательные значения".
Пример. Решить в Microsoft Excel следующую задачу нелинейного программирования:
найти 
при условии
В данной модели система ограничений состоит из одного линейного уравнения и нелинейной целевой функции.
1. Заполняем ячейки на рабочем листе необходимыми переменными, целевой функцией и ограничениями:
2. В окне "Параметры поиска решения" сбрасываем флаги "Линейная модель" (так как решаемая задача есть задача нелинейного программирования)" и "Неотрицательные значения" (в условии задачи нет ограничений на знаки переменных).
3. После нажатия кнопки "Выполнить" получаем ответ:
из которого следует, что минимальное значение целевой функции равно 17278 и достигается при x1 = 91 и x2 = 89.