Погрешность аппроксимации кубическим сплайном





Лабораторная работа № 1

 

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ СПЛАЙНА

Цель работы

 

Ознакомление студентов с задачей интерполяции функций, с методом прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей, с понятием сплайна, получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ.

 

Задачи работы

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач. Овладение вычислительными методами и практическими методами оценки погрешности вычислений. Приобретение умений и навыков при программировании и отладке вычислительных задач на компьютере.

 

Вводная часть

Известны два способа представления функций: аналитический и табличный. Первый требует сравнительно длительного времени вычисления, но небольшого объема памяти. Второй – наоборот. Существует промежуточный способ - сплайн.

 

Теоретические основы

Постановка задачи

Пусть отрезок [a, b] разбит на n частичных отрезков [xi , xi+1], где xi<xi+1, i=0,1, …, n-1, x0=a, xn=b. Обозначим hi=xi-xi-1. В случае равномерного разбиения h=(b-a)/n, xi=a+ih.

Функция f(x) задана своими значениями в узловых точках xi.

Рис. 2.4.1. Разбиение интервала при интерполяции сплайном

 

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всём заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке [xi,xi+1] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a, b] производной – дефектом сплайна.

Например, непрерывная кусочно-линейная функция (ломанная) является сплайном первой степени с дефектом, равным единице, т.к. непрерывна только сама функция (нулевая производная), а первая производная уже разрывна.

На практике наиболее широкое распространение получили сплайны третьей степени, имеющие на [a, b] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Эти сплайны называются кубическими и обозначаются через . На каждом отрезке кубический сплайн имеет вид

S3(x)i0i1(x - xi)i2(x - xi)2i3(x - xi)3, xÎ[xi, xi+1], (2.4.1)

и удовлетворяет условиям

S3(xi)=f(xi), i=0,...,n. (2.4.2)

Сплайн (2.4.1) на каждом из отрезков [xi, xi+1], i=0,...,n-1 определяется четырьмя коэффициентами, и поэтому для его построения на всем промежутке [a,b] необходимо определить 4n коэффициентов. Для их однозначного определения необходимо задать 4n уравнений.

Условие (2.4.2) дает 2n уравнений, т.к. каждый многочлен должен проходить через две заданные точки: начало и конец отрезка [xi, xi+1]. При этом функция S3(xi), удовлетворяющая этим условиям, будет непрерывна во всех внутренних узлах.

Условие непрерывности производных сплайна , во всех внутренних узлах xi, i=1,...,n-1 сетки дает 2(n-1) равенств.

Вместе получается 4n-2 уравнений.

Два дополнительных условия обычно задаются в виде ограничений на значение производных сплайна на концах промежутка [a,b] и называются краевыми условиями.

 

Выбор краевых условий

Наиболее употребительны следующие типы краевых условий:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Через краевые условия в конструкцию сплайна включаются параметры, выбирая которые можно управлять его поведением, особенно возле концов отрезка [a,b].

Если известны f'(x). f"(x) или f¢¢¢(x) в точках а и b, то естественно воспользоваться краевыми условиями типа а), б) или в).

Если производные неизвестны, то в большинстве случаев наилучшим решением будет применение краевых условий типа г).

Условия типа д) носят названия периодических. Естественно требовать их выполнения в том случае, когда интерполируемая функция периодическая с периодом (b-a).

Вместо значений производных можно использовать их разностные аналоги. При этом точность интерполяции вблизи концов отрезка [a,b] падает.

 

Погрешность аппроксимации кубическим сплайном

Теорема. Если функция f(x) при xÎ[x0, xn] j раз непрерывно дифференцируема и k=min{j, 4}, то для m£k-1

, (2.4.3)

причем cm не зависит от hi и i.

 

Примечание 1. Допустим, вторая производная f(x) непрерывна, а третья и четвертая – кусочно-непрерывны и могут иметь разрывы только первого рода в узлах сетки xi. Тогда оценка (2.4.3) остается в силе, если вместо символа max использовать sup. Дело в том, что рассматриваемый способ построения сплайна позволяет точно строить как любой многочлен третьей степени на всем интервале [x0,xn] (при этом обеспечивается непрерывность третьей производной), так и любую заданную функцию, составленную из многочленов третьей степени, если эта функция имеет непрерывную вторую производную.

Примечание 2. Если производная f''(x) имеет разрывы 1-го рода или граничные значения второй производной заданы с ошибкой, то оценка (2.4.3) остается справедливой при k=2, m£1.

 





Читайте также:
Романтизм: представители, отличительные черты, литературные формы: Романтизм – направление сложившеесяв конце XVIII...
Производственно-технический отдел: его назначение и функции: Начальник ПТО осуществляет непосредственное...
Перечень документов по охране труда. Сроки хранения: Итак, перечень документов по охране труда выглядит следующим образом...
Основные понятия туризма: Это специалист в отрасли туризма, который занимается...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.012 с.