После выполнения алгоритма прослеживания контура и выявления контрольных точек имеется три вектора: ,
,
- абсциссы, ординаты и веса контрольных точек соответственно. Тройку
назовем скелетом изображения
. Далее вычислим:
центр масс контрольных точек , где
,
;
длины радиус-векторов контрольных точек относительно центра масс: ,
, а также длины нормированных радиус-векторов
, где
;
косинусы углов между соседними радиус-векторами контрольных точек: ,
(считая
,
)
Из вычисленных компонент составляем векторы
. Векторы
будут инвариантны относительно сдвига, поворота и гомотетии изображения относительно центра масс (если «замкнуть» эти векторы, считая
). Четверку
будем называть нормированным векторным представлением изображения
. Рассмотрим вопрос об устойчивости центра масс изображения к добавлению новой контрольной точки.
Теорема 1. Если к нормированному векторному представлению добавить контрольную точку
с весом
, то для евклидова расстояния между новым центром тяжести
и старым
справедлива оценка
, где
- точки скелета изображения
. В частности, если
, то
.
Другими словами, если число контрольных точек достаточно велико, а вес новой точки небольшой, то центр симметрии сместится незначительно.
Функция изображения
Вместо анализа векторного представления в ряде задач (одна из которых будет рассмотрена в следующем разделе) удобней изучать свойства некоторой функции, связывающей векторы из представления
. Например, рассмотрим функцию
,
где (
). Эту функцию можно рассматривать как обобщение дескриптора Фурье [5]. По функции
коэффициенты
(а, следовательно, и
) будут определяться однозначно, как коэффициенты частичной суммы ряда Фурье. По дискретным значениям этой функции
, коэффициенты
можно найти из линейной системы
,
, если значения
,
, такие, что определитель матрицы
отличен от нуля, где
, где
- целая часть числа. Множество функций изображения будем рассматривать вместе с нормой
. Следующая теорема говорит об устойчивости функции изображения к изменению весов (и, следовательно, к изменению центра масс).
|
Теорема 2. Пусть и
два скелета изображения
такие, что
. Тогда, если
и
соответствующие этим скелетам функции изображения, то
, где
.
Однако при добавлении новой контрольной точки даже с небольшим весом функция изображения, вообще говоря, может сильно измениться, так как она не является инвариантной относительно сдвига векторов векторного представления . Таким свойством будет обладать, например, функция
, хотя коэффициенты этой функции уже не будут однозначно восстанавливаться по ее значениям.
Распознавание симметрий
Изображение называется
-осесимметричным [6], если оно переводится само в себя после поворота на любой угол, кратный
вокруг своего центра масс. Симметрия является важной в задачах распознавания характеристикой изображаемого объекта. Подробный обзор существующих методов обнаружения симметрий и определения ориентации объекта, в том числе и с помощью дескрипторов Фурье, можно найти в работе [6]. Распознавать симметрию можно непосредственно анализируя векторное представления
, если оно достаточно точно отражает характер симметрии (не содержит «лишних» контрольных точек). Векторное представление
назовем
-осесимметричным, если построенный по этому векторному представлению многоугольник будет
-осесимметричным. С другой стороны, для распознавания симметрии можно использовать и функцию изображения
. В этом случае лучше перейти к комплексной форме записи функции изображения. Обозначим через
, где
. Тогда
и справедлива
|
Теорема 3. является
-осесимметричным векторным представлением изображения
тогда и только тогда, когда найдется такое
, что
,
где
.
Это мультипликативное свойство функции изображения можно использовать для распознавания симметрий, а именно, если для заданного малого найдутся такие
и
, что
, то можно считать векторное представление
-осесимметричным.
Список литературы
Hecker Y.C., Bolle R.M. On geometric hashing and the generalized Hough transform, IEEE Trans. Syst., Man and Cybern. 24, N9, 1994, p.1328-1338.
Dufresne T.E., Dhawan A.P., Chord-tangent transformation for object recognition, Pattern Recogn. 28, N9, 1995, p.1321-1332.
Bolles R., Cain R.A., Recognizing and locating partiavisible objects: The local-feature-focus method, Robot Vision A.Publ. Ed., 1984.
Liu H.C., Srinath M.D., Partial Shape Classification Using Contour Matching in Distance Transformer; IEEE Trans. Pattern Anal. and Mach. Intell, 12, N11, p.1072-1079.
Zahn C.T., Roskies R.S., Fourier descriptors for plane closed curves, IEEE Trans. Comput. C-21, March, 1972, p.269-281.
Pei S.C., Liov L.G., Automatic symmetry determination and normalization for rotationally symmetric 2D shapes and 3D solid objects, Pattern Recogn, 27, N9, 1994, p.1193-1208. последовательностей".- Таганрог, изд. ТРТУ, 1996 г.