Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50).
Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс.руб., эксплуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.
Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний спроса S = (0,10,20,30,40,50).
Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то можно рассчитать элементы матрицы полезности:
Wij = (21.9 - 3.6) * min(Xi, Sj) - 4.775 Xi - 25.5
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| -121 | |||||
| -168,75 | 14,25 | 197,25 | 280,25 | 380,35 | 380,25 |
| -216,5 | -33,5 | 149,5 | 332,5 | 515,5 | 515,5 |
| -264,25 | -81,25 | 101,75 | 284,75 | 467,75 | 650,75 |
Например
W11 = -(4.775 20+25.5) = -121,
W12 = (21.9-3.6) * 10-(4.775 20+25.5) = 62,
W13 = (21.9-3.6) * 20-(4.775 20+25.5) = 245,
W14 = W15 = 245 (спрос останется неудовлетворенным).
Выбор критерия принятия решения
Предположим, что в нашем распоряжении имеются статистические данные, позволяющие оценить вероятность того или иного спроса, и этот опыт может быть использован для оценки будущего. При известных вероятностях Pj для спроса Sj можно найти математическое ожидание W(X,S,P) и определить вектор X*, дающий
Если для вышеприведенного примера задать вектор P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1), то математические ожидания прибыли при разных выборах:
W1 =-121*0.01 + 62*0.09 + 245*0.2 + 245*0.3 + 245*0.3 + 245*0.1 = 224.87,
W2 = 305.22, W3 = 330.675, W4 = 301.12
и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 330.675 тыс.руб.
Критерий Лапласа
В основе этого критерия лежит " принцип недостаточного основания ".
Если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего
Для нашего примера
W1 = (-121 + 62 + 245 + 245 + 245 + 245)/6 = 153.5,
W2 = 197.25, W3 =210.5, W4 = 193.5
и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность выбора варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 210.5 тыс.руб.
Критерий Вальда
Критерий Вальда обеспечивает выбор осторожной, пессимистической стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые мы использовали в теории игр для поиска седловой точки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения Xi выбирается самая худшая ситуация (наименьшее из Wij) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект
В нашем примере W = max(-121, -168.75, -216.5, -264.25) = -121, т.е. по этому критерию следует закупить 20 станков и максимальный возможный убыток не превысит 121 тыс.руб. (если бы мы включили и вариант отказа от покупки станков вообще, то этот критерий рекомендовал бы нам воздержаться от какой-либо деятельности, но "кто не рискует, тот не пьет шампанского").
Можно принять и критерий выбора оптимистической стратегии
где оценивается гарантированный выигрыш при самых благоприятных условиях. Для нашего примера W = min (245, 380.25, 515.5, 650.75)= 245.
Критерий Гурвица
Ориентация на самый худший исход является своеобразной перестраховкой. Однако опрометчиво выбирать политику, которая излишне оптимистична. Критерий Гурвица предлагает некоторый компромисс:
где параметр a принимает значение от 0 до 1 и выступает как коэффициент оптимизма. Так в нашем примере при различных a значения W определяются таблицей:
| 
| 
| 
| 
| |
| -84,4 | -47,0 | 206,4 | ||
| -113,85 | -58,95 | 105,75 | 270,45 | 325,35 |
| -140,4 | -70,1 | 149,5 | 369,1 | 442,3 |
| -172,75 | -81,25 | 193,25 | 467,75 | 559,25 |
При a=0.5 (равновероятных шансах на успех и неудачу) следует закупить 50 станков и ожидать прибыль порядка 193.25 тыс. руб.
При вероятности успеха 0.2 не следует закупать более 20 станков с надеждой, что убытки не превысят 47 тыс.руб.
Критерий Сэвиджа
Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений
элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.
Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т.д.
| 
| 
| 
| 
| 
| |
|
| -135,25 | -270,5 | -405,75 | |||
|
| -47,75 | -47,75 | -47,75 | -135,25 | -270,5 | |
|
| -95,5 | -95,5 | -95,5 | -47,75 | -135,25 | |
|
| -143,25 | -143,25 | -143,25 | -95,5 | -47,75 |
Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс.руб.
Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам:
1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков,
2) по критерию Вальда - 20 станков,
3) по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,
4) по критерию Сэвиджа - 40 станков.
Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.
Существует обширная литература по теории игр и статистических решений, среди которой можно выделить [27-31].
Упражнения
1. Фирма может за небольшую плату (10 руб.) составить любому студенту программу для каких-то типовых расчетов на ПЭВМ. Каждый сотрудник фирмы может качественно выполнить до 10 заказов. Cтоимость аренды машинного времени составляет 80 руб. в месяц (этого времени достаточно для выполнения 10 работ). Количество студентов, пользующихся услугами фирмы, не превышает 100 человек в месяц. Определить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек).
2. Землевладелец на знойном юге решает вопрос о числе рабочих, привлекаемых к уборке томатов. Урожайность колеблется в зависимости от погоды от 500 до 600 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 руб/кг. Рабочий за сезон собирает 20 центнеров, получая 1.2 руб/кг за уборку и 280 руб. для оплаты стоимости проезда. Затраты на обеспечение рабочих жильем составляют 300 руб. и не зависят от численности.
3. В сельхозрайоне с посевной площадью 1430 га решено построить элеватор по одному из типовых проектов на 20, 30, 40, 50 или 60 тыс. центнеров зерна. Привязка проекта обойдется в 37 тыс.руб. Cтоимость материалов и оборудования для элеватора мощности 20 тыс. равна 60 тыс.руб. и растет на 10% с ростом мощности на 10 тыс. Затраты на эксплуатацию элеватора на 20 тыс. равны 10 тыс. руб. и растут на 10 тыс. c ростом мощности на 10 тыс. За хранение зерна на счет элеватора вносится плата 10 руб. за центнер. Урожайность колеблется от 14 до 20 ц/га.
4. Председатель кооператива решает закупить бочки для засолки огурцов. Виды на урожай колеблются от 700 до 1000 кг, в бочку вмещается 50 кг, цена бочки - 12 руб., затраты на засолку - 2 руб. за бочку, аренда места на рынке - 10 руб, реализационная цена - 1.20 руб/кг.
5. Универмаг, работающий по 10 часов в сутки, ежедневно посещают от 7 до 10 тыс. человек. Cтоимость покупок одного посетителя в среднем - 10 руб. Время обслуживания - 1 мин. на покупателя. Затраты на оборудование одного рабочего места - 240 руб., зарплата продавца - 140 руб. в месяц. Найти число рабочих мест при планировании работы на год (300 рабочих дней), если покупатель не намерен стоять в очереди из более 7 человек.