Использование свойства монотонности функции.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. (Функциональный метод решения уравнений и неравенств)

Одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решений уравнений и неравенств.

Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

1. Использование понятия области определения функции

Областью определения функции у = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) — элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1∩D2. Ясно, что когда множество D пустое (D = Ø), то уравнение решений не имеет.

Пусть требуется решить неравенство f(x) > 0. D(f) — область определения функции f(x). Если удается доказать, что для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) > 0, то D(f) представляет собой решение данного неравенства.

Пример 1. Решите уравнение: + =5

Решение.

ОДЗ: 1-x 0, x 1, решений нет.

x-3 0 x 3

Ответ: Ø

Пример 2. Решите уравнение: + = x - 1

Решение.

ОДЗ: x-1 0, x =1

1-x 0

ОДЗ состоит из одной точки x =1. Остается проверить, является ли x =1 корнем уравнения.

x =1 + =1 -1, 0=0. Верно.

Ответ: 1

Пример 3. Решите неравенство: + 1

Решение.

1.Область определения левой части: 1.

2.Для любого x из области определения выполняется неравенство + 1

Ответ: x (- ;-1] [1;+ ).

Использование понятия области значений функции

Областью значений функции у = f(x) называется множество значений переменной у, при допустимых значениях переменной х.

Функция у = f(x) называется ограниченной на данном промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число N > 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство < N.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) — элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Обозначим область значений этих функций соответственно Е1 и Е2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) — значение функции f(x) при х = х1, a g(x1) — значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е1 ∩ Е2 Ø). Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Пример 1. Решите уравнение: + =2

Решение.

ОДЗ: x 0, x 0

x+9 0

0, 3 + 3, решений нет.

Ответ: Ø

Пример 2. Решите неравенство:.

ОДЗ:

На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а левая - положительная.

Ответ: [5; +∞).

Использование свойства монотонности функции.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента х X соответствует большее (меньшее) значение функции f(x), то есть для любых х1 и х2 из промежутка X таких, что х2 > х1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)).

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, используемых для установления характера монотонности функций и лежащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.

Теорема 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

Теорема 2. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X и функция g(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция h(х) = f(x) + g(x) + С также возрастает (убывает) на промежутке X (С — произвольная постоянная).

Теорема 3. Если функция f(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, функция g(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, С > 0, то функция h(х) = С ∙ f(x) ∙ g(x) также возрастает (убывает) на промежутке X.

Теорема 4. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция – f(x) убывает (возрастает) на этом промежутке.

Теорема 5. Если функция f(x) монотонна на промежутке X и сохраняет на этом множестве знак, то функция на промежутке X имеет противоположный характер монотонности.

Теорема 6. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(х) = f(g(x)) — возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h(х) = f(g(x)) — убывающая функция.

Теоремы об уравнениях и неравенствах.

Теорема 7. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке X не более одного корня.

Теорема 8. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке X уравнению g(x) = h(x).

Теорема 9. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то неравенство
f(g(x)) < f(h(x)) равносильно на промежутке X неравенству g(x) < h(x) (g(x) > h(x)).

Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих неравенств.

Теорема 10. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, а g(x) убывает на промежутке X, то уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке X не более одного корня.

Теорема 11. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, то уравнение f(f(x)) = х равносильно на промежутке X уравнению f(x) = х

Пример 1. Решите уравнение: