Метод итерации (метод последовательных приближений)

Сущность метода заключается в следующем.

Пусть необходимо найти корень уравнения с заданной точностью ε.

Исходное уравнение заменим равносильным ему уравнением . Это можно сделать различными способами. Например, выделить из исходного уравнения переменную x, остальное перенести в правую часть. Правая часть и составит выражение для .

Выберем на отрезке [ a, b ] произвольное значение x ₀ в качестве нулевого приближения для искомого корня. Подставляя это значение в правую часть уравнения , получим уточненное значение x ₁ искомого корня . Снова подставляя полученное значение x ₁ в правую часть уравнения , получим значение x ₂ искомого корня в следующем приближении . Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений: , , … . Эту последовательность называют итерационной.

Установлено, если существует предел последовательности x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n, т. е. , то он является корнем ξ уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности ε.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода итерации. Построим в плоскости x 0 y график левой части уравнения . Это будет биссектриса координатного угла (рис. 2, а). Затем строим график правой части уравнения , т. е. график . Получим некоторую линию L на плоскости x 0 y.

Пусть для любой точки этой линии на интервале [ a, b ] соблюдается условие . Абсцисса ξ точки пересечения линии L с биссектрисой является корнем уравнения (таких точек в общем случае может быть несколько). Найдем значение ξ корня.

Зададимся в качестве приближенного значения корня величиной . Согласно методу итерации, новое приближение для искомого корня ξ будет . Геометрически x ₁ находим, проведя через точку A ₀ кривой L прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с прямой . Абсцисса точки B ₁ пересечения и дает x ₁ (рис. 2, а). Продолжая этот процесс, получим точки x ₂, x ₃, …. Последовательность этих значений стремится к значению ξ искомого корня уравнения .

Возможен случай, когда для кривой L графика выполняется условие (рис. 2, б). Последовательные вычисления приближенных значений корня, как на рис. 2, а, показаны стрелками. Приближения x ₁, x ₂, … здесь также сходятся к искомому решению ξ. Однако в отличие от предыдущего случая, где решение уравнения представляет собой вид «лестницы», здесь решение имеет вид «спирали».

Геометрическое представление метода итерации для случаев, когда и (рис. 2, в, г) показывает, что в этих случаях метод итерации не обладает сходимостью, т. е. последовательное вычисление приближенных значений x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n корня не приводит к искомому решению ξ.

Таким образом, метод итерации обладает сходимостью тогда, когда

и не обладает сходимостью при

. В соответствии с этим примем без доказательства следующую теорему.

Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке [ a, b ], причем все ее значения . Тогда, если существует правильная дробь q такая, что на отрезке [ a, b ], то:

1) процесс итерации (n = 1, 2, …) сходится независимо от начального значения ;

2) предельное значение является единственным корнем уравнения , следовательно, на отрезке [ a, b ].

За число q можно принять наименьшее значение модуля производной на отрезке [ a, b ]. При этом процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений x_n _-1 и x_n не будет выполнено неравенство

что обеспечивает выполнение условия .

Если , то уточнение корня можно вести до соблюдения неравенства .

На рис. 2, д приведена блок-схема алгоритма уточнения корня уравнения методом итерации. Исходными данными являются начальное приближение x ₀ для искомого корня и точность ε, с которой необходимо вычислить корень уравнения.

Блок 3 задает начальное приближение для корня x. Блоки 4-6 составляют цикл уточнения корня по формуле , где x и x ₁ – предыдущее и последующее приближение соответственно.

Отметим общую методику уточнения корня методом итерации.

1) исходное уравнение заменить равносильным уравнением ;

2) исследовать уравнение на сходимость процесса итерации, т. е. определить ;

3) если , произвести уточнение корня до заданной точности ε по формуле . Если , подобрать другое уравнение и повторить п. 2.

Пример. Дано нелинейное уравнение

(1)

и интервал существования его корня . Вычислить методом итерации значение корня с точностью ε = 0,001.

Решение. Согласно методу итераций исходное уравнение следует привести к виду . Это можно сделать несколькими способами, например:

Первый способ. Исходное уравнение запишем в виде , отсюда , т.е.

; (2)

Второй способ. Как и в первом способе, исходное уравнение приведем к виду . Возьмем от обеих частей синус

Так как , то . Отсюда , т. е

. (3)

Проверим, какая из полученных функций обеспечивает сходимость метода итераций, т.е. удовлетворяет требованию на интервале существования корня.

Для функции (2) при подстановке значений получим

Для функции (3) при подстановке значений получим

Поскольку, условию сходимости процесса итераций удовлетворяет функция , то уточнение корня будем производить по формуле .

Таким образом, исходная математическая задача определения корня уравнения сводится к следующей вычислительной задаче:

вычислять по формуле , значение корня уравнения до выполнения условия .

За начальное приближение искомого корня принимаем любую точку из , например .

Приведём результаты вычислений первых двух приближений и для уточняемого корня:

;

В первом приближении . Так как , то, принимая , производим вычисление корня в следующем (втором) приближении (начиная с блока 3):

Таким образом, имеем ; ; . Заметим, что , поэтому процесс уточнения корня должен быть продолжен.

Из приведенных выше примеров преобразования исходного уравнения к виду можно заметить, что от вида функции уравнения зависит сходимость метода итераций. Поэтому обычно применяют общий прием построения функции , для которой обеспечивается выполнение условия сходимости на отрезке [ a, b ].

Исходное уравнение умножают на произвольную константу λ и прибавляют к обеим частям полученного уравнения переменную x, т. е. представляют в виде , где .